Getallen: Reële getallen
Ordening van de reële getallen
De reële getallen vormen een lijn waarop een ordening is aangegeven. Dit betekent dat we van elk tweetal getallen kunnen bepalen welke het grootste en welke het kleinste is. Hieronder is een stukje van deze lijn afgebeeld, met daarop aangegeven de gehele getallen tussen #-4# en #4#, het rationale getal #-\frac{3}{2}# en de irrationale getallen #\sqrt{2}#, #\pi# en #-\e#. Hierbij is #\pi# de oppervlakte van een cirkel met straal #1# en #\e# het getal van Euler, waarvoor we later een definitie zullen geven.
De ordening van de reële getallen wordt bepaald door het feit dat een getal kleiner is dan een ander als het er links van ligt op de getallenlijn. We noteren dit met behulp van het symbool #\lt# (spreek uit: kleiner dan), dat we tussen twee getallen schrijven om aan te geven dat het linker getal kleiner is dan het rechter. Bijvoorbeeld #-1\lt 0# en #\pi\lt 4#. We schrijven ook wel ketens van ongelijkheden op, zoals
\[-1\lt 0\lt\ 1\lt \sqrt{2}\lt 2\lt \pi\lt 4\lt \frac{9}{2}\lt 5\]
De andere symbolen die we gebruiken om de ordening te beschrijven zijn allemaal te omschrijven in termen van #\lt#:
| symbool | uitspraak | omschrijving |
| #\le# | kleiner dan of gelijk aan | #x\le y# dan en slechts dan als #x\lt y# of #x=y# |
| #\gt# | groter dan | #x\gt y# dan en slechts dan als #y\lt x# |
| #\ge# | groter dan of gelijk aan | #x\ge y# dan en slechts dan als #x\gt y# of #x=y# |
De vier symbolen #\lt#, #\le#, #\gt#, #\ge# heten ongelijktekens.
De ongelijkheid #\sqrt{2} \gt 1# betekent hetzelfde als #1\lt \sqrt{2}#.
De ongelijkheden #\frac{1}{3}\ge 0.333# en #\frac{1}{3}\gt 0.333# zijn beide waar, want #\frac{1}{3}# is niet gelijk aan #0.333#.
Hieronder staan de belangrijkste rekenregels voor ongelijkheden.
Rekenregels voor ongelijkheden
Laat #x#, #y# en #z# reële getallen zijn. Dan gelden de volgende regels:
- Precies één van de drie uitspraken "#x\gt y#", "#x\lt y#", "#x=y#" is waar
- Als #x\lt y# en #y\lt z#, dan #x\lt z#
- Als #x\gt y#, dan #x+z\gt y+z#
- Als #x\gt y#, dan #-x\lt -y#
- Als #x\gt y# en #z\gt0#, dan #z\cdot x\gt z\cdot y#
- Als #x\gt0# en #y\gt 0#, dan #x\cdot y \gt 0#
- Als #x\gt0#, dan ook #\frac{1}{x}\gt 0 #
- Als #x\gt y\ge0#, dan ook #x^2\gt y^2# en #\sqrt{x}\gt\sqrt{y}#
Bewijs van regel 8: Stel #x\gt y\ge 0#. Vanwege regel 1 (voor het geval #y\gt0#) geldt #x\gt0#. Tweemaal regel 5 toepassend vinden we #x^2=x\cdot x\gt x\cdot y\gt y\cdot y = y^2#. Regel 1 nogmaals toepassen geeft #x^2\gt y^2#. Dit levert de eerste uitspraak van regel 8.
Als nu #\sqrt{x}\lt \sqrt{y}#, dan volgt uit bovenstaande regel #x\lt y#, wat in tegenspraak is met het gestelde #x\gt y\ge0#.
Er moet dus gelden #\sqrt{x}\gt \sqrt{y}#. We hebben afgeleid dat uit #x\gt y\ge 0# volgt #\sqrt{x}\gt\sqrt{y}#. Dit is de tweede uitspraak van regel 8.
Immers, #{7}\cdot 3 = 21 \lt 66 = 11 \cdot 6#, dus volgt uit de regel invariantie bij vermenigvuldiging met een positief getal:
\[\frac{7}{6} =\frac{7\cdot 3 }{6\cdot 3} = \frac{1 }{6\cdot 3} \cdot 21 \lt \frac{1 }{6\cdot 3}\cdot 66 = \frac{11\cdot 6 }{6\cdot 3} =\frac{11}{3}\tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
