We bewijzen eerst dat de ongelijkheden gelden als $h$ de kop van de decimale ontwikkeling van $r$ is.

Laat $w.r_1r_2r_3\cdots$ de decimale ontwikkeling van $r$ zijn, waarbij $w$ een niet-negatief geheel getal is en $r_1,r_2,\ldots$ cijfers zijn. Dan is $h$ gelijk aan $w.r_1r_2r_3\cdots r_i$. We kunnen de ongelijkheden die we moeten bewijzen dus schrijven als $$w.r_1\cdots r_i\le r \le w.r_1\cdots r_{i-1} +\frac{r_i+1}{10^i}\tiny.$$

De eerste ongelijkheid, $w.r_1\cdots r_i\le r$, volgt uit het feit dat ${}r=w.r_1\cdots r_i+ \frac{r_{i+1}}{10^{i+1}}+\frac{r_{i+2}}{10^{i+2}}+\cdots{}$, omdat alle breuken in het rechter lid groter dan of gelijk aan $0$ zijn. Gelijkheid komt alleen voor als de staart vanaf $i+1$ gelijk is aan $0$.

De tweede ongelijkheid, $\le w.r_1\cdots r_{i-1} +\frac{r_i+1}{10^i}$, volgt uit het feit dat $\frac{r_{i+1}}{10^{i+1}} +\frac{r_{i+2}}{10^{i+2}}+\cdots$ kleiner dan of gelijk is aan$\frac{9}{10^{i+1}} +\frac{9}{10^{i+2}}+\cdots =(.999\cdots )\times 10^{-i} = \frac{1}{10^{i}}$.

Het geval van gelijkheid kan niet voorkomen, want dan zou de staart vanaf de $(i+1)$de decimaal uit louter $9$'s moeten bestaan. Dat is uitgesloten door de eis dat $w.r_1r_2r_3\cdots$ de decimale ontwikkeling van $r$ is.

Stel nu dat $h$ voldoet aan $h\le r \lt h+\frac{1}{10^i}$. We laten zien dat $h$ dan de kop van de decimale ontwikkeling van $r$ is. Laat $k$ de kop met $i$ decimalen van de decimale ontwikkeling van $r$ zijn. Dan geldt, vanwege de uitspraak die net bewezen is, dat $k\le r \lt k+\frac{1}{10^i}$. Passen we rekenregel 2 voor ongelijkheden toe op $h\le r\lt k+\frac{1}{10^i}$ en op $k\le r\lt h+\frac{1}{10^i}$, dan vinden we $h\lt k+\frac{1}{10^i}$ en $k\lt h+\frac{1}{10^i}$. Dit is met rekenregel 3 voor ongelijkheden te herschrijven tot $$-\frac{1}{10^i}\lt h-k\lt\frac{1}{10^i}\tiny.$$ Dus $h$ en $k$ zijn decimale getallen met $i$ cijfers achter de decimale punt die minder dan $\frac{1}{10^i}$ van elkaar verschillen. Dit maakt dat ze gelijk zijn. De conclusie is dat $h=k$ een kop van de decimale ontwikkeling van $r$ is, zoals te bewijzen was.

Stel, voor de gegeven decimale ontwikkelingen van $r$ en $s$, dat er een geheel getal $j\ge -n$ is, zodat $r_{-n}=s_{-n}$, $r_{1-n}=s_{1-n},\ldots, r_{j-1}=s_{j-1}$, en $r_j\lt s_j$. Omdat $r_j\lt s_j$, is $c_j := r_j+1$ een cijfer dat kleiner dan of gelijk is aan $s_j$. Hieruit leiden we af: $$\begin{array}{rclcl}.r_1r_2r_3\cdots &\lt& .r_1r_2\cdots r_{j-1} +\frac{c_j}{10^j}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{bovenstaande stelling}}\\ &\le& .r_1r_2\cdots r_{j-1}s_j&&\color{blue}{c_j\le s_j}\\ &\le& .r_1r_2\cdots r_{j-1}s_js_{j+1}s_{j+2}\cdots&&\color{blue}{s_{j+1}\ge0, s_{j+2}\ge0,\ldots}\end{array}$$ Hieruit volgt $r\lt s$.

Stel nu, omgekeerd, dat $r\lt s$, waarbij $r$ en $s$ positieve reële getallen zijn. Laat $r_{-m}r_{1-m}\cdots r_0.r_1r_2r_3\cdots$ en $s_{-n}s_{1-n}\cdots s_0.s_1s_2s_3\cdots$ de decimale ontwikkelingen van $a$, respectievelijk $b$, zijn zonder $9$-repeterende staarten. Door voldoende nullen links van de decimale ontwikkeling van $r$ of $s$ te plakken, kunnen we veronderstellen dat $m=n$. Laat nu $j\ge -n$ de index van het eerste cijfer zijn waar de twee decimale ontwikkelingen verschillen. Dus $r_{-n}=s_{-n}$, $r_{1-n}=s_{1-n},\ldots, r_{j-1}=s_{j-1}$. Als nu $r_j\gt s_j$, dan kunnen we het voorgaande toepassen met $r$ en $s$ verwisseld, met als conclusie $r\gt s$. Dit is een tegenspraak. Omdat we $j$ zo gekozen hebben dat $r_j\ne s_j$, moet $r_j\lt s_j$ gelden. Dit bewijst het bestaan van $j$ als aangegeven.