Getallen: Reële getallen
Het begrip reëel getal
Reële getallen zijn te beschrijven door ze met decimale getallen te benaderen. Als we beginnen met een decimaal getal en er steeds een geschikte decimaal aan toevoegen, dan krijgen we een steeds nauwkeuriger beschrijving van het getal. Dit principe zit achter de volgende definitie.
Decimale ontwikkelingen en reële getallen
Een decimale ontwikkeling is een oneindige rij decimale getallen, waarbij elk getal uit het vorige ontstaat door toevoeging van één cijfer aan de rechter zijde.
De algemene vorm van een decimale ontwikkeling is dus\[\epsilon r_{-n}r_{1-n}\cdots r_{-1}r_0.r_1r_2r_3\cdots\tiny,\]waarbij #\epsilon# het teken #+# of #-# is, #n# een niet-negatief geheel getal en elke #r_i# een cijfer. De punt tussen #r_0# en #r_1# heet de decimale punt.
Het reële getal dat voorgesteld wordt door bovenstaande decimale ontwikkeling is \[\epsilon\left(r_{-n}\cdot 10^n +r_{1-n}\cdot 10^{n-1}+\cdots +r_0+r_1\cdot 10^{-1}+r_2\cdot 10^{-2}+\cdots\right)\] De rij cijfers die op een bepaalde plaats in de decimale ontwikkeling begint, heet de staart van het getal. Het stuk daarvoor noemen we de kop. De kop is een decimaal getal. Een kop met #i# decimalen heeft precies #i# cijfers achter de decimale punt.
Als de staart van een decimale ontwikkeling het patroon #www\cdots # heeft, waarin #w# een eindige reeks cijfers is die steeds herhaald wordt, dan heet de staart repeterend of #w#-repeterend.
De verzameling van alle reële getallen wordt aangegeven met #\mathbb{R}#.
De som die het reële getal definieert, heeft oneindig veel termen. Als je met het gehele getal begint en één voor één de bijdragen van de cijfers achter de decimale punt toevoegt, dan krijg je steeds een betere benadering van het reële getal. Dit is de essentie van reële getallen: ze zijn goed te benaderen maar vaak onmogelijk precies aan te geven. Deze oneindige sommen worden in het hoofdstuk Rijen en reeksen van Calculus uitgebreid behandeld.
Op de getallenlijn is de decimale ontwikkeling als volgt te interpreteren: laat #r# een positief reëel getal zijn. Het grootste gehele getal dat links van #r# ligt, is de kop #r_{-n}r_{1-n}\cdots r_0# met nul decimalen. Dan komt de decimale punt. Vervolgens zoeken we het grootste stukje ter lengte #\frac{r_1}{10}# dat we bij de kop kunnen optellen, waarbij #r_1# een cijfer is, zonder dat het resultaat groter wordt dan #r#. Dan zoeken we het grootste stukje ter lengte #\frac{r_2}{100}# dat we bij #r_{-n}r_{1-n}\cdots r_0.r_1# kunnen optellen, waarbij #r_2# een cijfer is, zonder dat het resultaat groter wordt dan #r#, en zo door.
De oppervlakte van een cirkel met straal #1# is #\pi=3.141592\cdots# Van de decimale ontwikkeling is alleen de kop met 6 decimalen gegeven. Deze pagina is niet groot genoeg om een oneindige reeks helemaal uit te schrijven. Ons hele cursusmateriaal evenmin.
De nullen aan de uiterste rechterzijde van een #0#-repeterende staart van een reëel getal worden vaak weggelaten: \[-3.25000\cdots =-3.25\]
Als achter de decimale punt alleen nullen staan, dan wordt tezamen met die nullen ook de decimale punt zelf weggelaten. Het resultaat is een geheel getal. Gehele getallen worden zo opgevat als decimale getallen: \[2015 = 2015. = 2015.0 = +2015.0 = +2015.00000\cdots\]
In de decimale ontwikkeling van #\pi# komt de kop #3.14159# voor. De afronding #3.1416# is dus een betere benadering van #\pi# dan #3.1415#. Maar in de decimale ontwikkeling komt de kop #3.1415# voor en niet #3.1416#. De beste afronding kan op die manier afwijken van het cijfer in de decimale ontwikkeling.
De decimale ontwikkeling van een reëel getal
Elk reëel getal dat ongelijk is aan #0# heeft een unieke decimale ontwikkeling zonder #9#-repeterende staart.
Deze noemen we de decimale ontwikkeling van dat getal.
Elk reëel getal kan dus met behulp van decimale getallen willekeurig goed benaderd worden. Bovendien legt die benadering het reële getal helemaal vast. Precieze bewijzen kunnen pas geleverd worden als we meer theorie gepresenteerd hebben; dat gebeurt in het hoofdstuk Rijen en reeksen.
We gaan op de twee uitzonderingen in:
Het getal #0# wordt uitgesloten omdat de nul op vele manieren voorgesteld kan worden: \[0=0.0= 0.000000\cdots=+0.000000=+00000.000000\cdots\]
Decimale voorstellingen met een #9#-repeterende staart worden uitgezonderd omdat\[+0.9999\cdots = 1\tiny.\]
Hier zijn twee bewijzen voor die gelijkheid.
Het eerste bewijs gebruikt Lineaire vergelijkingen met één onbekende. We schrijven #x=+0.9999\cdots# en stellen vast dat #10\cdot x = 9+x#. Dit is zo omdat
\[\begin{array}{rcl}10\cdot x &=& 10\cdot 0.9999\cdots\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }x}\\ &=& 10\cdot\left(\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\frac{9}{10^4}+\cdots\right)\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }0.9999\cdots}\\&=& 9+\frac{9}{10}+\frac{9}{10^2}+\frac{9}{10^3}+\cdots\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{haakjes weggewerkt}}\\&=&9+0.9999\cdots\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }0.9999\cdots}\\ &=&9+x\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{definitie van }x}\end{array}\] Deze stappen zijn bekend als het om eindige optellingen gaat, maar hier tellen we oneindig veel termen op. Later zullen we zien dat dit hier (maar niet altijd) is toegestaan. De oplossing van de lineaire vergelijking #10\cdot x = 9+x# met onbekende #x# is gelijk aan #x=1#.
Het tweede bewijs gebruikt Meetkundige reeksen. Daarin maken we gebruik van het feit dat #0.9999\cdots# de oneindige som #\frac{9}{10}+\frac{9}{100}+\frac{9}{1000}+\cdots# is, waarvan de theorie zegt dat ze gelijk is aan #\frac{9}{10}\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{10}}#, hetgeen te vereenvoudigen is tot #1#.
De stelling doet twee beweringen tegelijk:
- elk reëel getal heeft een decimale ontwikkeling zonder #9#-repeterende staart, en
- twee verschillende decimale ontwikkelingen zonder #9#-repeterende staarten, waarin een cijfer ongelijk #0# voor komt, horen bij verschillende reële getallen.
- De eerste uitspraak is te onderbouwen door het boven beschreven proces uit te voeren, dat later uitvoeriger besproken wordt.
De tweede uitspraak, over verschillende decimale ontwikkelingen, is minder moeilijk in te zien: als twee decimale ontwikkelingen verschillen, dan verschillen ook hun posities op de getallenlijn, en zal de benadering met de stukjes #\frac{r_n}{10^n}# voor geschikte cijfers #r_n# ook anders uitkomen. Daaruit is af te leiden dat het ene reële getal groter is dan het andere. Ook hier gaan we later verder op in.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
