Bijvoorbeeld:

• $\max(3,8)=8$ en $\max(-3,-8)=-3$, terwijl
• $\min(3,8)=3$ en $\min(-3,-8)=-8$.

Het woord "gemene" is ouderwets taalgebruik en betekent hier "gemeenschappelijke".

Voorbeelden:

$$\begin{array}{rclcrcl}\gcd(2,3)&=&1&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(2,3) &=&6\\ \gcd(4,6)&=&2&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(4,6) &=&12\\ \gcd(4,4)&=&4&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(4,4) &=&4\end{array}$$

Laat $a$ en $b$ natuurlijke getallen zijn. Er zijn altijd getallen die zowel $a$ als $b$ delen, want $1$ is een voorbeeld.

Elk getal dat $a$ en $b$ deelt, is kleiner dan of gelijk aan $\min(a,b)$. Daarom bestaat er een grootste gemeenschappelijke deler, en geldt $$1\le \gcd(a,b)\le\min(a,b)\tiny.$$

Er is altijd een getal dat zowel een veelvoud van $a$ als van $b$ is, namelijk $a\times b$. Anderzijds is zo'n gemeenschappelijk veelvoud groter dan of gelijk aan $\max(a,b)$. Daarom bestaat er een kleinste gemeeenschappelijk veelvoud, en geldt $$\max(a,b)\le {\rm lcm}(a,b)\le a\times b\tiny.$$

Er is ook een grootste gemene deler en een kleinste gemene veelvoud van meer dan twee getallen. Bijvoorbeeld $$\begin{array}{rclcrcl}\gcd(2,3,6)&=&1&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(2,3,6) &=&6\\ \gcd(2,4,6)&=&2&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(2,4,6) &=&12\\ \gcd(4,6,8)&=&2&\phantom{xxxxx}&{\rm lcm}(4,6,8) &=&24\end{array}$$ In het algemeen geldt voor drie natuurlijke getallen $a$, $b$ en $c$:

$$\gcd(a,b,c)=\gcd\left(\gcd(a,b),c\right)\tiny.$$

De definitie $\gcd(a,0)=0$ is in overeenstemming met de definitie, want $a$ deelt zowel $0$ als zichzelf en is het grootste natuurlijke getal met die eigenschap.

Alle gelijkheden in de laatste twee regels van de definitie geven aan dat voor de definitie van $\gcd$ en $\rm lcm$ het teken er niet toe doet.

De waarden van $\gcd$ en $\rm lcm$ zijn nooit negatief.

Voorbeeld: $\gcd(15,-20)=\gcd(15,20)=5$.

De bewijzen laten we achterwege, maar we merken op dat alle uitspraken volgen uit regels 3 en 4.

Enkele voorbeelden:

1. $\gcd(42,28)=\gcd(7\times 6,7\times4) =7\times\gcd(6,4)= 14$.
2. Het getal $14$ is de rest bij deling van $42$ door $28$, dus $\gcd(42,28) = \gcd(14,28)$.
3. $\gcd(42,28)=\gcd(2\times3\times7,2^2\times7)=2\times7=14$, want $2$ is de hoogste macht van $2$ die zowel $42$ als $28$ deelt, evenzo voor $7$, en $1$ is de hoogste macht van $3$ die zowel $42$ als $28$ deelt.
4. ${\rm lcm}(42,28)={\rm lcm}(2\times3\times7,2^2\times7)=2^2\times3\times7=84$, want $2^2$ is de hoogste macht van $2$ die $42$ of $28$ deelt, en evenzo voor $3$ en $7$.
5. ${\rm lcm}(42,28) = 84=42\times 2=\frac{42\times 28}{14}=\frac{42\times 28}{\gcd(42,28)}$.

Voor de rest $t$ in stap 2 geldt de formule $t=r-\left\lfloor \frac{r}{s}\right\rfloor\times s$.

Elke instantie van het paar $\rv{r,s}$ voldoet aan $\gcd(r,s)=\gcd(a,b)$:

1. In het begin omdat $\rv{r,s}$ gelijk is aan $\rv{a,b}$ of $\rv{b,a}$,

2. Aan het einde van elke stap 2 vanwege gcd-regel 2.

Als we klaar zijn met stap 2, dan geldt $s=0$ en volgt $\gcd(a,b)=\gcd(r,0)=r$. De uitvoer levert dus inderdaad $\gcd(a,b)$ op.