Getallen: Gehele getallen
Rekenen met gehele getallen
Als verschillende bewerkingen achter elkaar uitgevoerd moeten worden, zal dat uit de notatie ook duidelijk moeten worden. Voor dit doel worden haakjes gebruikt: als om een deeluitdrukking haakjes staan, dan moet het deel binnen de haakjes eerst uitgewerkt worden. Zo geldt bijvoorbeeld \[\begin{array}{rcl}3\times (6+9) &=& 3\times 15 = 45\\ &\text{ en }&\\ (3\times 6) + 9 &=& 18+9 = 27\tiny.\end{array}\]
Omdat veel haakjes het lezen kunnen bemoeilijken, laten we ze vaak weg als we met prioriteitsregels (voorrangsregels) toekunnen of omdat de volgorde niet uitmaakt.
Prioriteitsregels bij bewerking van getallen
- Bij herhaald optellen en bij herhaald vermenigvuldigen maakt de volgorde niet uit.
- Bij herhaald aftrekken en bij machtsverheffen maakt de volgorde wel uit.
- Als er geen haakjes staan bij herhalingen van de bewerking aftrekken, dan lezen we de uitdrukking alsof er haakjes van links naar rechts staan.
- Als er geen haakjes staan bij herhalingen van de bewerking machtsverheffen, dan lezen we de uitdrukking alsof er haakjes van rechts naar links staan.
Bij herhaald optellen maakt de volgorde niet uit. Bijvoorbeeld:
\[3+4+7=(3+4)+7=7+7=14= 3+11=3+(4+7)\tiny,\]
dus verschillende manieren van haakjes zetten leveren hetzelfde resultaat.
Ook bij herhaald vermenigvuldigen maakt de volgorde niet uit. Bijvoorbeeld:
\[5\times 2\times 7 =(5\times 2)\times 7=10\times 7=70=5\times 14= 5\times (2\times 7) \tiny.\]
Bij herhaald aftrekken maakt de volgorde wel uit:
\[\begin{array}{rclcl}(3-2)-8&=&1-8&=&-7\\ 3- (2-8)&=&3-(-6)&=&9 \\ \end{array}\]Met #3-2-8# wordt de eerste uitdrukking bedoeld. Dus #3-2-8=3-(2+8)#. Het maakt niet uit of we eerst #2# en dan #8#, danwel eerst #8# en dan #2# van #3# aftrekken:
\[\begin{array}{rcl}3-2-8&=&-7\\ 3- 8-2&=&-7 \\ \end{array}\]
Bij machtsverheffen is de volgorde ook van belang:
\[\begin{array}{rclcl}\left(2^3\right)^2&=&8^2&=&64\\ 2^{\displaystyle (3^2)}&=&2^9&=&512 \\ \end{array}\]Met #{2^3}^3# wordt #2^{\left(3^3\right)}# bedoeld.
Som en product
Een uitdrukking die bestaat uit een optelling van twee of meer deeluitdrukkingen, heet een som. De deeluitdrukkingen heten termen of summanden.
Een uitdrukking die verkregen is uit het vermenigvuldigen van twee of meer deeluitdrukkingen, heet een product. De deeluitdrukkingen heten factoren.
De som #2+4+6+8# is gelijk aan #20#. De summanden zijn #2#, #4#, #6# en #8#.
Het product #2\times 4\times 6\times 8# is gelijk aan #384#. De factoren zijn #2#, #4#, #6# en #8#.
Stippeltjes worden gebruikt om een patroon aan te geven:
\[\begin{array}{rcl}2+4+6+\cdots +20 &=& 110\\ 2\times 4\times 6\times \cdots\times 20 &=&3715891200\end{array}\]
Dus #\cdots# staat hierboven voor #8+10+12+14+16+18#, respectievelijk #8\times10\times12\times14\times16\times18#.
De volgorde bij de bewerkingen is:
- uitwerken wat er binnen de haakjes staat
- machtsverheffen (bij meerdere machtsverheffingen achter elkaar zonder haken: van rechts naar links)
- vermenigvuldigen
- optellen en aftrekken (bij meerdere bewerkingen zonder haken: van links naar rechts)
Ook exponenten moet je opvatten als uitdrukkingen tussen haakjes. Hieronder werken we daarom #1+3# en #1+4# uit als onderdeel van stap 1.
\[\begin{array}{rcl}\left(1+2\right)^{1+3}\times(3-2)-\left(1+3\right)^{1+4}\times3-2&=&\left(3\right)^{4}\times(1)-\left(4\right)^{5} \times3-2\\ &=&81\times(1)-1024\times3-2\\ &=&81-3072-2\\ &=&-2991-2\\ &=&2993\\ \end{array}\]
Als er meerdere haken ten tonele verschijnen, is het handig om de gewone symbolen voor groepering hier en daar te vervangen door vierkante haken [ ] of accolades { }. Bijvoorbeeld:
\[\begin{array}{rcl}\left\{\left[(3+2)-4\right]-(6-5)\right\}-\left[8-(6+5)\right]&=&\left\{(5-4)-(-1)\right\}-\left[-3\right]\\ &=&2+3\\ &=&5\end{array}\]
In het invoerveld word je echter verwacht altijd de gewone haken te gebruiken.
Immers,
\[-2\cdot 92 -14=-184-14=-198\]
en
\[ -2\cdot (92 -14) = -2\cdot 78 = -156 \]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
