Getallen: Gehele getallen
Het begrip geheel getal
Het tellen van voorwerpen begint meestal met #1#. Vanaf dit begin krijg je alle andere natuurlijke getallen door verder te tellen, of, anders gezegd, er voldoende vaak #1# bij op te tellen. Zo is\[\begin{array}{rcl}2 &=&1+1\\ 3 &=&1+1+1=2+1\\ 7 &= & 6+1\\ 2016 &= & 2015+1\\ \end{array}\]
Gehele getallen
De natuurlijke getallen zijn dus #1#, #2#, #\ldots#, aangegeven met #\mathbb{N}#. Deze getallen zijn groter dan nul, oftewel positief. Met de schrijfwijze #12\gt0# geven we aan dat #12# positief is. Met #12\gt 11# geven we aan dat #12# groter dan #11# is.
Tellen we vanaf #0# terug, dan ontstaan de negatieve gehele getallen: #-1#, #-2#, #-3#, #\ldots# Met de schrijfwijze #-10\lt0# geven we aan #-10# negatief is. Met #-9\lt -8# geven we aan dat #-9# kleiner is dan #-8#.
Om de verzameling van alle natuurlijke getallen en #0# aan te geven, spreken we van de niet-negatieve gehele getallen. Met de schrijfwijze #10\ge0# geven we aan dat #10# niet-negatief is. Met #7\ge 5# geven we aan dat #7# groter dan of gelijk aan #5# is.
De niet-positieve gehele getallen zijn #0#, #-1#, #-2#, #\ldots# Met de schrijfwijze #-3\le0# geven we aan dat #-3# niet-positief is. Met #-9\le -8# geven we aan dat #-9# kleiner dan of gelijk aan #-8# is.
De negatieve gehele getallen en de niet-negatieve gehele getallen vormen samen alle gehele getallen. Ze zijn als volgt geordend\[\cdots\lt-5\lt-4\lt-3\lt-2\lt-1\lt0\lt 1\lt2\lt3\lt4\lt5\lt\cdots\]
Van een negatief getal zeggen we dat het het teken #-# heeft. Van een positief getal dat het het teken #+# heeft.
De verzameling van alle natuurlijke getallen wordt aangegeven met #\mathbb{N}#; de verzameling van all gehele getallen met #\mathbb{Z}#.
Het getal #12.0000# is een decimaal getal dat gelijk is aan #12#. Het is dus een andere manier om het gehele getal te schrijven. Decimale getallen komen later aan bod.
Het getal #\frac{4}{2}# is een rationaal getal dat gelijk is aan #2#. Rationale getallen komen later aan bod. Gehele getallen zijn speciale rationale getallen.
Bewerkingen van gehele getallen
Optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en machtsverheffen noemen we bewerkingen, soms ook rekenkundige bewerkingen, omdat ze nieuwe gehele getallen uit oude maken.
Delen is natuurlijk ook een bewerking. Die hebben we niet genoemd omdat niet elke deling van een geheel getal op een andere weer een geheel getal oplevert.
We zullen nog veel andere bewerkingen tegenkomen, te beginnen met machtsverheffen hieronder.
Optellen
Tellen we bij #5# zeven keer #1# op, dan ontstaat het getal #12#. Omdat zeven keer #1# door #7# aangegeven wordt, kunnen we deze activiteit kort noteren als #5+7#. De gelijkheid #5+7=12# geeft het resultaat van de actie aan. Het optellen van twee getallen is zo te verklaren.
Als we #5# bij #7# optellen, dan ontstaat #12#, hetzelfde getal: #7+5=12#. Immers, #7+5# en #5+7# zijn beide ontstaan door #12# keer #1# bij #0# op te tellen.
Aftrekken
Voor terugtellen kunnen we het minteken gebruiken: als we #6# keer terugtellen van #8#, dan komen we uit op #2#. Dit noteren we als #8-6=2#. Ook kunnen we het negatieve getal #-6# gebruiken om dit proces aan te duiden: met #8+(-6)# bedoelen we het getal dat je uit #8# verkrijgt door #6# keer terug te tellen. Dus #8+(-6)=8-6=2#. Dit komt goed uit als we natuurlijke getallen tekort komen om het terugtellen te laten slagen: #6-8=-2#. Immers, bij #6-6# stuiten we op #0#, en daarna moeten we nog #2# keer #1# aftrekken, zodat we op het negatieve gehele getal #-2# uitkomen. Dezelfde conventie kunnen we ook goed hanteren bij het aftrekken van een negatief geheel getal #-14#: dat is gelijk aan het optellen van #14#. Dus #5-(-14) = 5+14=19#. Het aftrekken van twee gehele getallen is zo te verklaren.
Vermenigvuldigen
De gelijkheid #3\times 1 = 3# drukt uit dat #3# keer #1# optellen bij #0# het resultaat #3# oplevert. Als we in plaats van #1# bijvoorbeeld #4# nemen, dan drukt #3\times 4# uit dat we driemaal #4# bij #0# optellen. Dit resultaat is #12#, want \[3\times 4 = \underbrace{1+1+1+1}_{\text{één keer}} + \underbrace{1+1+1+1}_{\text{twee keer}} + \underbrace{1+1+1+1}_{\text{drie keer}}=12\tiny.\]Het vermenigvuldigen van gehele getallen is zo te verklaren.
In plaats van #\times# schrijven we ook vaak #\cdot#, dus #3\times 2# en #3\cdot 2# zijn allebei #6#.
#3\times 4# is gelijk aan #4\times 3#: \[4\times 3 = \underbrace{1+1+1}_{\text{één keer}} + \underbrace{1+1+1}_{\text{twee keer}} + \underbrace{1+1+1}_{\text{drie keer}}+\underbrace{1+1+1}_{\text{vier keer}}=12\tiny.\]
Machtsverheffen
Tenslotte doet machtsverheffen voor vermenigvuldiging wat vermenigvuldiging doet voor optelling: #3^5# staat voor #3\times 3\times 3\times 3\times 3#, wat overigens gelijk is aan #243#.
Hierbij is #3# het grondtal en #5# de exponent van de machtsverheffing.
Machtsverheffen kun je uitvoeren met elk grondtal als de exponent maar een natuurlijk getal is.
Als de exponent gelijk is aan #0# en het grondtal ongelijk aan #0#, dan is het resultaat #1#: dit is de afspraak dat nul keer een getal met zichzelf vermenigvuldigen, #1# oplevert.
Het geval waarin het grondtal en de exponent beide #0#, levert problemen op. Dit zal later duidelijk worden, als we machten met een negatieve exponent behandelen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
