De cijfers zijn dus precies die getallen die met één symbool te schrijven zijn. Het feit dat het er #10# zijn, is te danken aan onze gewoonte om met het decimale stelsel te werken (decima komt van "een tiende deel" in het Latijn).

In het Nederlands schrijven we in het algemeen een komma in plaats van een punt, en noemen we de decimalen ook wel cijfers achter de komma.

Laat #a#, #b#, #m#, #n# gehele getallen zijn met #m\ge0# en #n\ge0#, zodat#\frac{a}{10^n}# en #\frac{b}{10^m}# twee willekeurige decimale getallen zijn.

Gezien de theorie Optelling en aftrekking van breuken, wordt de optelling van de twee decimale getallen gegeven door \[\frac{a}{10^n}+\frac{b}{10^m}=\frac{10^ma+10^nb}{10^{m+n}}\tiny.\]Dit laat zien dat de som van twee decimale getallen weer een decimaal getal is.

De aftrekking van twee decimale getallen gaat net zo.

Het product van de twee decimale getallen is\[\frac{a}{10^n}\cdot\frac{b}{10^m}=\frac{a\cdot b}{10^{m+n}}\tiny,\]dus ook weer een decimaal getal.

Deling van #\frac{a}{10^n}# door #10# levert #\frac{a}{10^{n+1}}#, wat duidelijk weer een decimaal getal is.

Deling van een decimaal getal door #2# levert hetzelfde resultaat als vermenigvuldiging met #5# (een decimaal getal) en deling door #10#. We hebben net gezien dat dit weer een decimaal getal oplevert.

Voor #5# in plaats van #2# is de redenering hetzelfde (met #2# in plaats van #5#).

Om in te zien dat deling niet altijd goed gaat nemen we #a=1#, #n=0#, #b=3# en #m=0#, zodat we te maken hebben met de decimale getallen #1# en #3#. Stel dat de deling van #3# op #1# een decimaal getal is. Dan zijn er gehele getallen #c# en #p# met #p\ge0#, zodat #\frac{1}{3} = \frac{c}{10^p}#. We herschrijven dit tot #c=\frac{10^p}{3}#. Het linker lid is een geheel getal, maar het rechter lid is het resultaat van de deling van #10^p# door #3#. Maar deze deling heeft als rest altijd #1# en is dus niet geheel, wat in strijd is met het linker lid. Deze tegenspraak betekent dat de deling van #1# door #3# geen decimaal getal oplevert.