Getallen: Wortels
Gebroken machten
We kijken nu naar getallen van de vorm , waar en natuurlijke getallen zijn. De exponent van in deze macht is dus een breuk. Vandaar de volgende benaming.
Gebroken machten
Laat en positieve gehele getallen zijn en laat een niet-negatief getal zijn.
- In plaats van schrijven we ook .
- Als , dan schrijven we in plaats van ook wel .
Deze machten van heten gebroken machten.
We bespreken waarom dit mogelijk is. Als een derde positief geheel getal is, dan geldt . Als de schrijfwijze van voor verantwoord is, dan moet ook gelden . Dit is inderdaad het geval, getuige een van de rekenregels voor hogeremachtswortels.
Rekenregels voor gebroken machten
Laat en rationale getallen zijn en en positieve getallen. Dan gelden de volgende gelijkheden.
In feite gelden deze wetten ook als en niet-negatieve getallen zijn en alle uitdrukkingen gedefinieerd zijn. Dit betekent dat als de exponent niet negatief mag zijn als het grondtal gelijk aan is.
Later zullen we zien dat deze wetten niet alleen gelden als en rationaal zijn, maar zelfs als ze willeurige reële getallen zijn. Het probleem is niet alleen de gelijkheden af te leiden, maar ook om te laten zien wat de betekenis van is als een willekeurig reëel getal is.
Immers, dus .
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.