Getallen: Wortels
Hogeremachtswortels
Laat #n# een natuurlijk getal zijn.
Hogeremachtswortel
Als #a# een niet-negatief reëel getal is, dan is er precies één niet-negatief reëel getal #b#, zodat #b^n = a#. Dit getal wordt wel als #\sqrt[n]{a}# geschreven; het wordt de #n#-demachtswortel van #a# genoemd.
| Oplossingen #b# van #b^n = a# | #a\gt 0# | #a=0# | #a\lt0# |
| #n# even | #b=\pm\sqrt[n]{a}# | 0 | - |
| #n# oneven | #b=\sqrt[n]{a}# | 0 | #b=-\sqrt[n]{-a}# |
We laten zien dat indien #n=3#, er hooguit één niet-negatief reëel getal #b# is, zo, dat #b^n = a#. Stel dat #c# ook zo'n getal is: #c^3=a# en #c# is niet negatief. Dan geldt dus #b^3=c^3#, en dus ook #b^3-c^3=0#. Maar het linker lid kunnen we schrijven als product van twee factoren: #b^3-c^3=(b-c)\cdot (b^2 + b\cdot c + c^2)#. Omdat deze uitdrukking gelijk is aan #0#, moet ten minste één van beide gelijk zijn aan nul. Maar #b^2 + b\cdot c + c^2# is alleen nul als zowel #b# als #c# gelijk aan nul zijn (want zowel #b# als #c# zijn niet negatief). Hieruit volgt dat #b-c# gelijk is aan #0#. Maar dat betekent #b=c#.
Voor #n=2# zien we de gewone wortel terugkomen: #\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}#.
Vaak wordt #\sqrt[3]{-7}#, de derdemachtswortel uit #-7#, een negatief getal, ook gedefinieerd als het getal waarvan de derde macht gelijk is aan #-7#. Maar in deze cursus wordt het getal onder het wortelteken altijd niet-negatief verondersteld. Het getal dat met #\sqrt[3]{-7}# aangeduid wordt, kunnen we uitdrukken als #-\sqrt[3]{7}#.
Rekenregels voor hogeremachtswortels
Laat #a# en #b# positieve getallen zijn, en #m# en #n# positieve gehele getallen.
- #\left(\sqrt[n]{a}\right)^m=\sqrt[n]{a^m}#
- #\left(\sqrt[n]{a}\right)^n=\sqrt[n]{a^n} = a#
- #\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\cdot b}#
- #\frac{\sqrt[n]{a}}{ \sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{ b}}=\frac{1}{b}\sqrt[n]{{a}\cdot { b}^{n-1}}#
- #\sqrt[m\cdot n]{a^{m}} = \sqrt[n]{a}#
Standaardvorm voor hogeremachtswortels van breuken
De uitdrukking #\frac{a}{b}\sqrt[n]{c}#, waarbij #a#, #b# en #c# positieve gehele getallen zijn, heet een standaardvorm voor een hogeremachtswortel van een positief rationaal getal als
- #\frac{a}{b}# een onvereenvoudigbare breuk is,
- #c# vrij is van factoren die een #n#-de macht zijn, en
- #c# ongelijk is aan een #d#-de macht voor elke deler #d# van #n#.
De laatste voorwaarde is nieuw ten opzichte van het geval #n=2# en houdt verband met de laatste van bovenstaande rekenregels.
De standaardvorm van #\sqrt[8]{324}# is bijvoorbeeld # \sqrt[4]{18}#, want #324 = 2^2\cdot 3^4=(2\cdot 3^2)^2 = 18^2#, zodat #\sqrt[8]{324}=\sqrt[8]{18^2}=\sqrt[4]{18}#.
We herleiden de uitdrukking door eerst teller en noemer in standaardvorm te brengen, dan de wortel uit de noemer weg te werken, vervolgens alle #5#de machten onder de wortel weg te halen en tenslotte de breuk voor de wortel te vereenvoudigen: \[ \frac{\sqrt[5]{49}}{\sqrt[5]{64}} =\frac{ \sqrt[ 5 ]{ 49 }}{ 2\cdot \sqrt[ 5 ]{ 2 }} = \frac{ 1 }{ 2\cdot 2 }\cdot \sqrt[ 5 ]{ 49 \cdot { 2 }^{ 5 -1}} = {{1}\over{4}}\cdot \sqrt[5]{2^4\cdot 7^2} = { {{1}\over{4}} } \sqrt[5]{ 784 } \tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
