Getallen: Wortels
Wortels van breuken
Ook voor wortels van positieve rationale getallen is er een standaardvorm.
Rekenregel voor wortels van breuken
Als #p# en #q# positieve gehele getallen zijn, dan geldt #\sqrt{\frac{p}{q}}=\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}} = \frac{1}{q}\sqrt{p\cdot q}#.
De definitie van wortel zegt dat #b=\sqrt{\frac{p}{q}}# het unieke niet-negatieve getal is met #b^2=\frac{p}{q}#. Maar #\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}# voldoet ook aan beide eigenschappen: het is duidelijk positief omdat teller en noemer positief zijn en #\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}\right)^2 = \frac{\left(\sqrt{p}\right)^2}{\left(\sqrt{q}\right)^2}=\frac{p}{q}#. De conclusie is dat #\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}# gelijk is aan #b#, dus aan #\sqrt{\frac{p}{q}}#. Dit bewijst de eerste gelijkheid.
Maar ook #\frac{1}{q}\sqrt{p\cdot q}# is positief en heeft #b# (als boven) als kwadraat: #\left(\frac{1}{q}\sqrt{p\cdot q}\right)^2 = \frac{1}{q^2}\cdot\left(\sqrt{p\cdot q}\right)^2=\frac{1}{q^2}\cdot p\cdot q =\frac{p}{q}#. Dus ook #\frac{1}{q}\sqrt{p\cdot q}# is gelijk aan #b#, en dus aan #\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}#. Dit bewijst de tweede gelijkheid.
Standaardvorm voor de wortel van een rationaal getal
Als we van een positief rationaal getal #\frac{p}{q}# de wortel nemen, dan schrijven we het resultaat eerst als #\frac{1}{q}\sqrt{p\cdot q}# en schrijven we vervolgens #\sqrt{p\cdot q}# in de standaardvorm voor de wortel van een geheel getal. Het resultaat heeft dus de vorm #\frac{a}{b}\sqrt{c}#, waarin #a#, #b# en #c# positieve gehele getallen zijn en #c# geen kwadraten als factoren meer heeft. Deze vorm heet de standaardvorm van #\sqrt{\frac{p}{q}}#.
De standaardvorm van #\sqrt{\frac{2}{27}}# is #\frac{1}{9}\sqrt{6}#. Dit kan als volgt berekend worden: \[\sqrt{\frac{2}{27}} = \frac{1}{27}\sqrt{2\cdot27}=\frac{1}{27}\sqrt{2\cdot 3^3}=\frac{3}{27}\sqrt{2\cdot 3}=\frac{1}{9}\sqrt{6}\] Het is hierbij verstandig de vermenigvuldiging onder het wortelteken niet uit te voeren voordat je alle kwadraten onder de wortel weggehaald hebt.
Een andere afleiding van dit antwoord is \[\sqrt{\frac{2}{27}} =\sqrt{\frac{2}{3^2\cdot 3}} =\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{ 3}}=\frac{1}{3}\frac{\sqrt{2}}{ \sqrt{3}} = \frac{1}{3\cdot 3}\sqrt{2\cdot 3} = \frac{1}{9}\sqrt{6}\]
Eerst halen we de wortel weg uit de noemer door teller en noemer met #\sqrt{4}# te vermenigvuldigen: \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}\cdot \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5\cdot 4 }}{4}\). Onder de wortel staat nu een positief geheel getal, waaruit nog alle kwadratische factoren getrokken moeten worden. Omdat #5\cdot 4 = (2)^2\cdot 5 #, geldt #\sqrt{5\cdot 4}= 2 \cdot \sqrt{5}#, zodat \(\frac{\sqrt{5\cdot 4 }}{4}= \frac{2}{4}\sqrt{5}\). Verder bevat #5# geen kwadraten, dus de gevraagde standaardvorm voor \(\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}\) is \(\frac{2}{4}\sqrt{5} = {{1}\over{2}} \sqrt{5}\).
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
