Getallen: Wortels
Wortels van gehele getallen
De wortel van een reëel getal
Als #a# een niet-negatief reëel getal is, dan is er precies één niet-negatief reëel getal #b#, zodat #b^2 = a#. Dit getal wordt aangeduid met #\sqrt{a}# en heet de wortel van #a#.
We laten zien dat er maar één niet-negatieve wortel is van #a#. Stel dat #b# en #c# beide wortels zijn. Dan geldt #b^2=a=c^2#, dus #b^2-c^2=0#.
Hieruit volgt #(b-c)\cdot(b+c)=0#, waaruit weer volgt dat #b-c=0# of #b+c=0#. Dus #b=c# of #b=-c#. Maar als ze beide niet-negatief zijn, moet #b=c# waar zijn. Dit laat zien dat er maar één wortel van #a# is.
Als #a# een negatief reëel getal is, dan is er géén reëel getal #b# met #b^2 = a#. Immers, als #b# zou bestaan, dan zou #b^2# een niet-negatief getal zijn (want kwadraten zijn nooit negatief). Maar, omdat #a=b^2#, is dit in strijd met de aanname dat #a# negatief is.
Sommige wortels zijn goede bekenden: #\sqrt{1} = 1#, #\sqrt{4} = 2# en #\sqrt{9} = 3#. Maar niet alle wortels zijn geheel, of zelfs maar rationaal.
Rekenregels voor wortels Laat #a# en #b# niet-negatieve getallen zijn. Dan gelden de volgende regels.
- #\left(\sqrt{a}\right)^2 =a= \sqrt{a^2} #
- #\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} =\sqrt{a\cdot b}#
De eerste gelijkheid van de eerste regel volgt direct uit de definitie: als #c=\sqrt{a}#, dan zegt de definitie dat #c# niet-negatief is en #c^2=a#. Als we #\sqrt{a}# weer voor #c# invullen, dan vinden we #\left(\sqrt{a}\right)^2=a#.
De tweede gelijkheid van de eerste regel volgt uit de definitie van #d= \sqrt{a^2}#. Die zegt immers dat #d# niet-negatief is en voldoet aan #d^2=a^2#. Maar hieruit volgt #d=a# of #d=-a#; omdat #d# en #a# beide niet negatief zijn, volgt daaruit #d=a#, hetgeen #a=\sqrt{a^2}# bewijst.
Als, tenslotte #e=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}#, dan is #e^2 = \left(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\right)^2 = \left(\sqrt{a}\right)^2\cdot \left(\sqrt{b}\right)^2= a\cdot b#. We zien dus dat #e^2=a\cdot b#. Omdat #e# ook niet-negatief is, volgt #e=\sqrt{a\cdot b}#. Bijgevolg is #\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}#. Dit bewijst de gelijkheid in de tweede regel.
Met deze regels kun je een product waar wortels in voorkomen, schrijven als een product met hooguit één wortel. Dit helpt bijvoorbeeld om elk product van gehele getallen en wortels van gehele getallen op een unieke manier, de standaardvorm, te schrijven.
Standaardvorm voor wortels van gehele getallen Elk positief geheel getal #a# is te schrijven als #b^2\cdot c#, waarbij #b# en #c# gehele getallen zijn en #c# een product van priemgetallen die elk precies één keer voorkomen. De standaardvorm voor #\sqrt{a}# is dan #b\sqrt{c}#.
Bewijs: gebruik de schrijfwijze van #a# als product van priemgetallen. Als #p# een priemgetal is dat #a# deelt, dan is de vraag wat de hoogste macht van #p# is die #a# deelt. Als dat #p# zelf is, dan hoort de priem #p# bij #c#. Als het een even macht is, bijvoorbeeld #p^6#, dan is de wortel daarvan #p^3#; die factor voegen we toe aan #b#. Als het een oneven macht is, bijvoorbeeld #p^5#, dan voegen we #p^2# aan #b# toe en #p# aan #c#. Zo krijgen we gehele getallen #b# en #c#, zodat geen factor van #c# een kwadraat is. Uit #a=b^2c# en bovenstaande rekenregels volgt #\sqrt{a} = \sqrt{b^2}\cdot\sqrt{c} = b\sqrt{c}#.
Dit is als volgt in te zien:
\[\begin{array}{rcl}-5\sqrt{39}\cdot 2\sqrt{3}&=&-5 \cdot 2 \sqrt{39\cdot 3}\\ &=&-10\sqrt{{3}^2\cdot 13 }\\ &=& -10\cdot 3\sqrt{13}\\ &=&-30 \sqrt{13}\end{array}\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
