Dit hoofstuk gaat over het rekenen met getallen. Er passeren allerlei soorten getallen de revue: natuurlijke getallen, gehele getallen, rationale en irrationale getallen. Al deze getallen zijn reëel. Elk reëel getal is rationaal of irrationaal. Natuurlijke getallen zijn gehele getallen. Gehele getallen zijn rationaal. We concentreren ons op het systematisch rekenen met dergelijke getallen.

De rij \(1,2,3,\ldots\) is de rij van de natuurlijke getallen. Dit zijn de getallen waar een eindig aantal voorwerpen mee kan worden geteld. De verzameling van natuurlijke getallen noteert men met \(\mathbb{N}\). Vaak wordt ook #0# gezien als natuurlijk getal, maar in deze cursus niet. Het getal #0# drukt het aantal voorwerpen uit in het geval dat er géén voorwerpen zijn die geteld moeten worden. De getallen \(0,1,2,3,\ldots\) zullen worden omschreven als de niet-negatieve gehele getallen. Deze benaming wordt hieronder duidelijk.

Het rekenen met natuurlijke getallen gaat goed als je getallen bij elkaar optelt of vermenigvuldigt. Maar het aftrekken van getallen geeft soms problemen. Wat is bijvoorbeeld de uitkomst van \(1-2\) of \(2-3\) ? Dit geeft aanleiding tot de invoering van de verzameling van gehele getallen, aangeduid met \(\mathbb{ℤ}\).

De gehele getallen kun je op een getallenlijn uitzetten: begin met een eerste punt op een rechte lijn en geef dit het naamkaartje #0#; kies dan een tweede punt dat het naamkaartje #1# krijgt. We spreken af dat de afstand tussen deze twee punten gelijk is aan #1#. Loop nu verder met passen van lengte #1# en plaats steeds een volgend geheel getal als naamkaartje. Doe dit ook in de andere richting en je krijgt de volgende getallenlijn:

In \(\mathbb{ℤ}\) kunnen we zonder problemen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Maar het delen van twee gehele getallen levert niet altijd een geheel getal op. Bijvoorbeeld, #{3}:{2}# is geen geheel getal. Dit geeft aanleiding tot de invoering van de verzameling van rationale getallen, aangeduid met \(\mathbb{Q}\).

Ook de rationale getallen, dat wil zeggen de getallen die als een breuk van twee gehele getallen geschreven kunnen worden, kunnen op de getallenlijn geplaatst worden. In een breuk staan twee gehele getallen, de teller en de noemer, gescheiden door een horizontale of schuine deelstreep. De schrijfwijze van een rationaal getal als breuk is niet uniek: \(\tfrac{2}{3}\) en \(\tfrac{4}{6}\) stellen bijvoorbeeld hetzelfde rationale getal voor en we schrijven \(\tfrac{2}{3}=\tfrac{4}{6}\). Wel is het mogelijk de schrijfwijze uniek te maken door de volgende twee eisen te stellen:

• de noemer moet positief zijn;
• de teller en noemer mogen geen gemeenschappelijk delers hebben.

Alle getallen op de getallenlijn vormen samen de verzameling van reële getallen, aangeduid met \(\mathbb{R}\). Een reëel getal dat niet rationaal is noemen we een irrationaal getal. Bekende irrationale getallen zijn \(\pi\approx 3.141592\ldots\), de oppervlakte van de cirkel met straal #1#, en \(\e\approx 2.71828\ldots\), de constante van Euler, oftewel het grondtal van de natuurlijke logaritme (de details komen veel later aan bod).

De getallen op de getallenlijn zijn geordend: van elk tweetal reële getallen kunnen we vaststellen welke het meest rechts op de getallenlijn ligt: dat is de grootste van de twee. Met #2\lt 20# geven we aan dat #2# kleiner is dan #20#. Een getal heet negatief als het kleiner is dan #0# en positief als het groter is dan #0#. Een getal is niet-negatief als het positief is of gelijk aan #0#.

Het resultaat van het herhaaldelijk vermenigvuldigen met hetzelfde getal is een macht. Bijvoorbeeld, #2^5# (spreek uit: twee tot de macht vijf) is #2\times 2\times 2\times 2\times 2#, dus #32#. Wortels hangen hiermee samen. De wortel van #4# is #2#, een rationaal getal, maar de wortels van #2# en #3# zijn irrationaal. We besteden veel aandacht aan wortels van rationale getallen.

Lang niet alle reële getallen zijn rationale getallen of wortels daarvan. Aan het einde van dit hoofdstuk bespreken we reële getallen in hun algemeenheid: hoe je daar mee kunt rekenen, zonder ze helemaal uit te schrijven. Dit onderdeel is wat moeilijker dan de rest.

In dit hoofdstuk wordt hier en daar met variabelen gerekend, een onderwerp dat in het hoofdstuk Algebra uitvoerig aan bod komt. Om je alvast met het idee vertrouwd te maken en je voor te bereiden op het gebruik ervan, is een kleine inleiding Variabelen aan dit hoofdstuk toegevoegd.

test