Als $n$ een natuurlijk getal is, dan is de definitie van $g^n$ bekend van de theorie Het begrip geheel getal. Dan geldt de wet $g^{m}\cdot g^n=g^{m+n}$, waarbij $m$ ook een natuurlijk getal is.

De definitie van $g^n$ voor negatieve $n$ is zo gekozen dat deze wet blijft gelden: $g^{1}\cdot g^{-1}=g\cdot\frac{1}{g}=1$.

Als $n\ge0$, dan volgt uit de definitie:  $$\left(\frac{a}{b}\right)^n=\underbrace{\frac{a}{b} \times \frac{a}{b} \times \cdots \times \frac{a}{b}}_{n\textrm{ maal}}=\dfrac{a^n}{b^n}\tiny.$$ Dit bewijst de eerste uitspraak in het geval $n\ge0$.

Als $n\lt0$, dan volgt hieruit:  $$\begin{array}{rclcl}\left(\frac{a}{b}\right)^n&=&\frac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie gehele macht}}\\&=&\frac{1}{\ \dfrac{a^{-n}}{b^{-n}}\ }&&\color{blue}{\text{voorgaande geval voor }-n}\\&=&\frac{b^{-n}}{a^{-n}}&&\color{blue}{\text{gedeeld door breuk want}}\\&&&&\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met omgekeerde breuk}}\end{array}$$ Hiermee is de tweede uitspraak vastgesteld.

We moeten nog inzien dat de eerste uitspraak ook waar is voor $n\lt0$. Daartoe rekenen we door: $$\begin{array}{rclcl}\left(\frac{a}{b}\right)^n&=&\frac{b^{-n}}{a^{-n}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{zojuist afgeleid}}\\&=&{\ \dfrac{1}{b^n\ }}/{\ \dfrac{1}{a^n}\ }&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie gehele macht}}\\&=&{\frac{1}{b^n}}\cdot {\frac{a^n}{1}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{gedeeld door breuk want}}\\&&&&\color{blue}{\text{vermenigvuldigd met omgekeerde breuk}}\\&=&\frac{a^n}{b^n}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{breuken vermenigvuldigd}}\\ \end{array}$$