Getallen: Rationale getallen
Het begrip rationaal getal
Als delingen van een geheel getal ongelijk #0# op een ander geheel getal geen geheel getal oplevert, komt een rationaal getal te voorschijn. Met die getallen kunnen we rekenen als met gehele getallen, met dezelfde prioriteiten. Hier voeren we het begrip rationaal getal in en later laten we zien hoe de rekenkundige bewerkingen uitgevoerd worden.
Rationaal getal
Rationale getallen zijn reële getallen die als een breuk van twee gehele getallen geschreven kunnen worden. Een rationaal getal is dus het resultaat van een deling van een geheel getal, de teller, door een ander geheel getal, de noemer. Zo'n breuk wordt geschreven als de teller en de noemer, gescheiden door een horizontale of schuine deelstreep.
De verzameling van alle rationale getallen wordt aangegeven met #\mathbb{Q}#.
Voorbeelden:\[\begin{array}{rcl}{2/3}&=&\frac{2}{3}\\ -6/4&=&-\frac{6}{4}=\frac{-6}{4}\\7&=&7/1=\frac{7}{1}\end{array}\]
Omdat je niet door #0# kunt delen, mag de noemer niet #0# zijn.
De schrijfwijze van een rationaal getal als breuk is niet uniek: \(\frac{2}{3}\) en \(\frac{4}{6}\) stellen bijvoorbeeld hetzelfde rationale getal voor. We schrijven dan \(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\). In het algemeen geldt:
- Als je teller en noemer van een breuk met hetzelfde gehele getal (ongelijk aan nul) vermenigvuldigt of deelt, dan verandert de waarde ervan (dat wil zeggen: het bijbehorende reële getal) niet.
- Als van twee breuken het product van de teller van de één met de noemer van de ander gelijk is aan het product van de noemer van de één met de teller van de ander, dan zijn de waarden ervan gelijk.
In formulevorm: Als #a#, #b#, #c# en #d# reële getallen zijn met #b\ne0# en #d\ne0#, dan geldt
- #\frac{a}{b}=\frac{a\cdot d}{b\cdot d}#
- #\frac{a}{b}=\frac{c}{d}# dan en slechts dan als #a\cdot d = b\cdot c#
Voorbeelden: \[\begin{array}{rcl}\frac{15}{-10}&=&\frac{-3\cdot(-5)}{2\cdot(-5)}=\frac{-3}{2}\\ \frac{15}{-10}&=&\frac{-9}{6}\end{array}\]
De volgende definitie helpt om een unieke uitdrukking te verkrijgen voor elk rationaal getal.
Onvereenvoudigbare breuk
Als de teller en noemer deelbaar zijn door hetzelfde gehele getal ongelijk aan #1#, dan kunnen we teller en noemer delen door dat getal. Dit levert een eenvoudiger voorstelling van hetzelfde rationale getal op, en heet vereenvoudigen.
We spreken van een onvereenvoudigbare breuk als
- de grootste gemene deler (gcd) van teller en noemer gelijk aan #1# is,
- de noemer positief is, en
- de noemer gelijk aan #1# is als de teller gelijk is aan #0#.
De breuk \(\frac{-4}{-6}\) is bijvoorbeeld te vereenvoudigen tot \(\frac{2}{3}\) door de teller en noemer door #-2# te delen.
De stelling hieronder bevestigt dat het begrip onvereenvoudigbare breuk voldoet om elk rationaal getal een unieke uitdrukking te geven.
Gelijkheid van breuken
Twee rationale getallen zijn dan en slechts dan gelijk als ze dezelfde onvereenvoudigbare breuk hebben.
Het spreekt vanzelf dat twee rationale getallen met dezelfde breuk gelijk zijn.
Andersom: stel #\frac{a}{b}# en #\frac{c}{d}# zijn twee onvereenvoudigbare breuken, waarbij #a#, #b#, #c# en #d# getallen zijn met #b# en #d# ongelijk aan #0#, en stel dat ze gelijk zijn: #\frac{a}{b}=\frac{c}{d}#. We laten zien dat dan teller en noemer ook gelijk zijn; dat wil zeggen: #a=c# en #b=d#.
Het kenmerk van breuken leert ons dat #a\cdot d= b\cdot c#. Omdat #\frac{a}{b}# en #\frac{c}{d}# onvereenvoudigbaar zijn, geldt #\gcd(a,b)=\gcd(c,d)#. Dus geen enkele deler van #a# is deler van #b#. Omdat #a# deler is van #b\cdot c# (immers, #a\cdot d= b\cdot c#), moet #a# een deler zijn van #c#. Net zo moet #c# een deler zijn van #a#. Hieruit volgt #a=c# of #a=-c#.
Als #a=0#, dan volgt daaruit #c=0#. Met andere woorden, de tellers zijn #0#. Uit de definitie van onvereenvoudigbaar volgt dat dan ook de bijbehorende noemers gelijk zijn aan #1#, zodat #b=d=1#. We concluderen dat #a=c# en #b=d#, zoals te bewijzen was.
Stel nu #a\ne0#. Dan geldt ook #c\ne0#. Als #a=-c#, dan volgt uit #a\cdot d= b\cdot c# dat #b=-d#. Maar dit is in tegenspraak met de eis dat de noemers #b# en #d# van onvereenvoudigbare breuken beide positief zijn. Er moet dus gelden #a=c#. Maar dan volgt uit #a\cdot d= b\cdot c# ook #b=d#, wat te bewijzen was.
Een rationaal getal met noemer #1# is een geheel getal. Bijvoorbeeld, #\frac{9}{-1}=\frac{-9}{1}=-9#. Elk geheel getal is dus ook rationaal.
Het snelst gaat dit door teller en noemer van de breuk door hun grootste gemene deler #4# te delen: \[\frac{4}{12}=\frac{4\cdot1}{4\cdot3}=\frac{1}{3}\] Dit mag ook in stapjes: \[\frac{4}{12}=\frac{2\cdot 2}{2\cdot 6}=\frac{2}{6}=\frac{2\cdot 1}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}\tiny.\]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
