Kwadratische ongelijkheden: Kwadratische ongelijkheden met één onbekende
Eén kwadratische ongelijkheid met één onbekende
Kwadratische ongelijkheden zijn ongelijkheden waarin aan beide kanten van het ongelijkheidsteken veeltermen in een of meerdere variabelen staan die constant, lineair of kwadratisch zijn.
Het oplossen van een ongelijkheid bestaat uit het aangeven voor welke waarden van bepaalde variabelen, de onbekenden, de ongelijkheden gelden. De variabelen die we niet als onbekenden zien, noemen we parameters.
Voorbeelden van kwadratische ongelijkheden met één onbekende zijn #5x-2 \gt x^2+4# en #t^2-3t+10 \le 5t-2#.
Voorbeelden van kwadratische ongelijkheden met twee onbekenden zijn #5xy-2 \gt x^2+4y# en #t^2-3tx+10x^2 \le 5t-2x+3#.
Als er geen kwadratische termen zijn dan is de ongelijkheid lineair. Bijvoorbeeld: #-3t+10\le 5t-2#.
Als er ook geen lineaire termen zijn, dan is de ongelijkheid een uitspraak over twee getallen die zegt welke van de twee getallen groter (of gelijk) is dan de ander. Bijvoorbeeld: #10\le -2#. De uitspraak hoeft niet waar te zijn!
- Herschrijf de ongelijkheid naar de vorm #ax^2+bx+c \gt 0#.
- Vervang de ongelijkheid door een vergelijking en los deze op.
- Onderzoek (bijvoorbeeld met behulp van een grafiek) voor welke #x# de functie #ax^2+bx+c # positieve waarden heeft. Daarbij geldt dat het teken tussen twee naast elkaar liggende oplossingen van de vergelijking niet verandert.
In deze algemene vorm vatten we de variabelen #a#, #b# en #c# op als parameters.
De eerste stap brengt de ongelijkheid in een standaardvorm.
De tweede stap is nodig om te onderzoeken wanneer de functie #ax^2+bx+c# van teken verandert.
Als #ax^2+bx+c=0# geen oplossingen heeft, dan gebeurt dat nooit. Dan is de functie altijd positief of altijd negatief. Het antwoord wordt dan geformuleerd als "alle" of "geen".
Als #ax^2+bx+c=0# één oplossing heeft, dan is die oplossing #x=-\dfrac{b}{2a}# en is het teken in dat punt nul; de functie is dan altijd positief of altijd negatief, behalve in #x=-\dfrac{b}{2a}#. We formuleren het antwoord dan als "geen" of als #x\lt -\dfrac{b}{2a}\vee x\gt -\dfrac{b}{2a}#.
Als #ax^2+bx+c=0# twee oplossingen heeft, zeg #x_0# en #x_1#, waarbij #x_0\lt x_1#, dan is het teken op het interval #(x_0,x_1)# anders dan daarbuiten. In het geval waarbij #a\gt0# is de grafiek van de functie een dalparabool en is de functie dus precies dan positief als #x\lt x_0# of #x\gt x_1#. Het antwoord wordt dan geformuleerd als #x\lt x_0\vee x\gt x_1#. In het geval waarbij #a\lt0# is de grafiek van de functie een bergparabool en is de functie precies dan positief als #x\gt x_0# en #x\lt x_1#. Het antwoord wordt dan geformuleerd als #x\gt x_0\wedge x\lt x_1#.
De eerste stap is de ongelijkheid zo te herschrijven dat het rechter lid gelijk is aan #0#. Dit doen we door alle termen die in het rechter lid voorkomen, links en rechts af te trekken. Het resultaat is #-x^2+5x-6\lt 0#. Voor het rekengemak maken we de leidende coëfficiënt gelijk aan #1# door met #-1# te vermenigvuldigen; volgens de rekenregels voor ongelijkheden slaat het teken dan om: #x^2-5x+6\gt 0#.
Nu lossen we de vergelijking #x^2-5x+6=0# met onbekende #x# op. De abc-formule geeft #x=2\vee x=3#.
Volgens de theorie van Kwadratische functies is de grafiek van de functie #x^2-5x+6# een dalparabool. Buiten het interval #\ivcc{2}{3}# zullen de waarden van #x^2-5x+6# dus positief zijn. De conclusie is dat #x# precies dan een oplossing van de ongelijkheid is als #x\lt 2\vee x\gt 3#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
