Lineaire vergelijkingen met één onbekende: Begrip
Oplossen door herleiding
We bespreken hier een systematische oplossingsmethode van lineaire vergelijkingen met één onbekende.
Herleiding
Lineaire vergelijkingen met één onbekende zijn altijd op te lossen door herleiding: het stapsgewijs vereenvoudigen van de vergelijking door op het linker en rechter lid dezelfde operatie los te laten.
- Aan beide zijden dezelfde term aftrekken is zo'n operatie.
- Aan beide zijden door dezelfde constante ongelijk #0# delen is er ook een.
Daarnaast kunnen gelijksoortige termen steeds samengebracht worden.
Deze operaties voeren we uit met de bedoeling om uitgaande van een vergelijking als #2x+5=4x-7# uit te komen op een vergelijking van de vorm #x=6#, want dan hebben we bepaald dat in de oplossing #x# de waarde #6# moet hebben.
Met andere woorden, een lineaire vergelijking met onbekende #x# kan opgelost worden door alle termen met #x# naar links te brengen, alle constanten naar rechts te brengen, gelijksoortige termen bij elkaar op te tellen, en beide zijden te delen door de coëfficiënt van #x#.
Als alle termen met #x# bijeen genomen worden en de coëfficiënt van #x# gelijk aan #0# is, dan is #x# uit de vergelijking verdwenen. Wat er dan gebeurt staat later, in de theorie Algemene oplossing, beschreven.
De idee achter herleiding is dat we van te voren weten dat de oplossingen van de oorspronkelijke vergelijking dezelfde zijn als van de nieuwe vergelijking. We zeggen dan dat de oorspronkelijke vergelijking en de herleide vergelijking equivalent zijn.
Equivalentie van vergelijkingen
Twee vergelijkingen heten equivalent als ze precies dezelfde oplossingen hebben.
Elk van de twee vergelijkingen #x^6=0# en #x^2=0# is equivalent met #x=0#.
De vergelijkingen #y^6=-1# en #\frac{1}{y}=0# zijn equivalent: ze hebben beide geen oplossing.
Dit volgt uit onderstaande herleiding.
\[\begin{array}{rclcl} 4x + 5 &=& 8x -15 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{de gegeven vergelijking}}\\4x + 5 - 8x &=& 8x -15 - 8x &\phantom{x}&\color{blue}{\text{aan beide kanten }8x\text{ afgetrokken}}\\-4x +5 &=& -15 &\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\-4x +5-5 &=& -15 -5&\phantom{x}&\color{blue}{\text{constante } 5\text{ afgetrokken}}\\-4x &=& -20&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ x &=& \frac{-20}{-4}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{gedeeld door }-4}\\ x &=& {5}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{breuk vereenvoudigd }}\end{array}\]De oplossing is dus #x ={ 5}#.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
