Bekende primitieven van enkele quotiëntfuncties

Integreren: Integratietechnieken

Bekende primitieven van enkele quotiëntfuncties

We zullen in de komende pagina's methoden gaan bekijken om enkele quotiëntfuncties te primitiveren. Om te beginnen zullen we naar twee bijzondere primitieven kijken.

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x=\arctan(x)+\green C\]

Voorbeeld

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{3}{x^2+1} \; \dd x &=& 3 \displaystyle \int\frac{1}{x^2+1} \; \dd x \\ &=& 3 \arctan(x) + \green C\end{array}#

We substitueren als eerste stap #x=\tan(t)#, dat geeft:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)\]

We weten dat er geldt: #\frac{\dd \tan(t)}{\dd t} = \tan^2(t)+1#. Dus #\dd \tan(t) = \tan^2(t)+1 \; \dd t#. Er geldt dus:

\[\int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)= \int \frac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t\]

Dit kunnen we verder oplossen. Dat gaat als volgt:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t&=&\displaystyle \int 1 \; \dd t \\ &=&t+\green C\end{array}\]

Nu substitueren we #\tan(t)=x#, oftewel #t=\arctan(x)#, terug. Dat geeft:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \arctan(x) +\green C\]

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x=\arcsin(x)+\green C\]

Voorbeeld

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x &=& 2 \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x \\ &=& 2 \arcsin(x) + \green C\end{array}#

We substitueren als eerste stap #x=\sin(t)#, dat geeft:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)\]

We weten dat er geldt: #\frac{\dd \sin(t)}{\dd t} = \cos(t)#. Dus #\dd \sin(t) = \cos(t) \; \dd t#. Er geldt dus:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)= \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t\]

Dit kunnen we verder oplossen met behulp van #1-\sin^2(t)=\cos^2(t)#. Dat gaat als volgt:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t&=& \displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{\cos^2(t)}} \; \dd t \\ &=&\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t \end{array}\]

Nu nemen we #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}# en dan geldt #|\cos(t)|=\cos(t)#.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t&=&\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{\cos(t)} \; \dd t \\&=& \displaystyle \int 1 \; \dd t\\ &=&t+\green C\end{array}\]

Nu substitueren we #\sin(t)=x# met #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}#, oftewel #t=\arcsin(x)#, terug. Dat geeft:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \arcsin(x) +\green C\]

Bepaal #\int {{1}\over{4\cdot x^2+1}} \,\dd x#.

Gebruik #C# als integratieconstante.

#\int {{1}\over{4\cdot x^2+1}} \,\dd x=# #{{\arctan(2\cdot x)}\over{2}} + C#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int {{1}\over{4\cdot x^2+1}} \; \dd x &=& \displaystyle \int \frac{1}{2} \frac{1}{(2\cdot x)^2+1} \; \dd(2\cdot x) \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{geschreven zodat we kunnen substitueren}} \\ &=& \displaystyle \int \frac{1}{2} \cdot {{1}\over{u^2+1}} \; \dd u \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitutie van }2\cdot x=u} \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \arctan(u) +C\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{geprimitiveerd}} \\ &=&\displaystyle {{\arctan(2\cdot x)}\over{2}} +C \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitutie van }u=2\cdot x} \end{array}#

Nieuw voorbeeld