#\int \sin(t)^3 \,\dd t=# #{{\cos(t)^3}\over{3}}-\cos(t) + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(t)=t^2-1# et #h(t)=\cos(t)#, car alors #g(h(t)) \cdot h'(t)=\sin(t)^3#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \sin(t)^3 \,\dd t&=& \displaystyle \int \left(\cos(t)^2-1\right) \cdot -\sin(t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ avec } h'(t)=-\sin(t)} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{formule trigonométrique }\sin^2(t)=1-\cos^2(t)} \\ &=& \displaystyle \int \cos(t)^2-1 \, \dd(\cos(t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^2-1 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\cos(t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^3}\over{3}}-u +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\cos(t)^3}\over{3}}-\cos(t) +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\cos(t)}
\end{array}\]