Nuestro primer paso es sustituir #x=\tan(t)#, lo que da:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)\]

Ya sabemos que #\frac{\dd \tan(t)}{\dd t} = \tan^2(t)+1#. Por lo tanto, #\dd \tan(t) = \tan^2(t)+1 \; \dd t#. Y por lo tanto:

\[\int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)= \int \frac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t\]

Podemos resolver esto más adelante. Esto se realiza de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t&=&\displaystyle \int 1 \; \dd t \\ &=&t+\green C\end{array}\]

Ahora sustituimos #\tan(t)=x#, en otras palabras #t=\arctan(x)#, de nuevo. Esto nos da:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \arctan(x) +\green C\]

Nuestro primer paso es sustituir #x=\sin(t)#, lo que da:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)\]

Ya sabemos que: #\frac{\dd \sin(t)}{\dd t} = \cos(t)#. Por lo tanto, #\dd \sin(t) = \cos(t) \; \dd t#. Y por lo tanto:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)= \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t\]

Podemos resolver esto aún más usando #1-\sin^2(t)=\cos^2(t)#. Esto se realiza de la siguiente manera:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t&=& \displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{\cos^2(t)}} \; \dd t \\ &=&\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t \end{array}\]

Ahora tomamos #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}# en cuyo caso se aplica #|\cos(t)|=\cos(t)#.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t&=&\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{\cos(t)} \; \dd t \\&=& \displaystyle \int 1 \; \dd t\\ &=&t+\green C\end{array}\]

Ahora sustituimos #\sin(t)=x# con #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}#, en otras palabras #t=\arcsin(x)#, de nuevo. Esto nos da:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \arcsin(x) +\green C\]