Vermenigvuldigen van breuken

Algebra: Breuken

Vermenigvuldigen van breuken

Het product van twee breuken

We kunnen twee breuken vermenigvuldigen door de teller met de teller te vermenigvuldigen en de noemer met de noemer.

\[\frac{\orange{a}}{\blue{b}} \cdot \frac{\purple{c}}{\green{d}}=\frac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{\blue{b} \cdot \green{d}}\]

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\orange{x}}{\blue{y}} \cdot \dfrac{\purple{5}}{\green{y^2}}&=&\dfrac{\orange{x} \cdot\purple{ 5}}{\blue{y }\cdot\green{ y^2}} \\ &=& \dfrac{{5 \cdot x}}{{y^3}}\end{array}\]

Vereenvoudiging

Net als bij het optellen en aftrekken van breuken vereenvoudigen we na afloop het antwoord, indien mogelijk.

Voorbeeld

\[\begin{array}{rcl} \dfrac{\orange{x^2}}{\blue{y^2}} \cdot \dfrac{\purple{3 \cdot y}}{\green{x}}&=&\dfrac{\orange{x^2} \cdot \purple{3 \cdot y}}{\blue{y^2} \cdot \green{x}} \\ &=& \dfrac{{3 \cdot x}}{{y}}\end{array}\]

Haakjes

Net als bij het aftrekken van breuken moeten we bij het vermenigvuldigen van breuken op de haakjes letten. Zowel de teller als de noemer moet, als deze uit meerdere termen bestaat, tussen haakjes gezet worden.

Indien niet anders vermeld, mogen er haakjes in het eindantwoord blijven staan.

Voorbeeld

\[\begin{aligned} \dfrac{\orange{x^2+1}}{\blue{y+1}} \cdot \dfrac{\purple{y+1}}{\green{x^2}}&=\dfrac{\orange{(x^2 +1)} \cdot \purple{(y+1)}}{\blue{(y+1)} \cdot \green{x^2}} \\ &= \dfrac{{x^2+1}}{{x^2}}\end{aligned}\]

Speciaal geval

\[\begin{array}{rcl}
\orange{a} \cdot \dfrac{\purple{c}}{\green{d}}
&=&
\dfrac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{ \green{d}}
\end{array}\]

Voorbeeld

#\begin{array}{rcl}
\orange{x} \cdot \dfrac{\purple{2}}{\green{xy}}
&=&
\dfrac{\orange{x} \cdot \purple{2}}{ \green{xy}}\\
&=&\dfrac{2}{y}
\end{array}#

\[\begin{array}{rcl}
\orange{a} \cdot \dfrac{\purple{c}}{\green{d}}
&=& \dfrac{\orange{a}}{\blue{1}} \cdot \dfrac{\purple{c}}{\green{d}} \\
&&\qquad\blue{\text{regel \(\tfrac{a}{1}=a\)}} \\
&=& \dfrac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{\blue{1}\cdot \green{d}} \\
&&\qquad\blue{\text{regel \(\frac{{a}}{{b}} \cdot \frac{{c}}{{d}}=\frac{{a} \cdot {c}}{{b} \cdot {d}}\)}} \\
&=& \dfrac{\orange{a} \cdot \purple{c}}{ \green{d}} \\
&&\qquad\blue{\text{regel \(1\cdot x = x\)}}
\end{array}\]

Schrijf als één breuk en vereenvoudig zo veel mogelijk:
\[\dfrac{x}{z\cdot y^2} \cdot \dfrac{z\cdot y}{x^2-x}\]

#{{1}\over{y\cdot \left(x-1\right)}}#

#\begin{array}{rcl}
\dfrac{x}{z\cdot y^2} \cdot \dfrac{z\cdot y}{x^2-x} &=& \dfrac{ {x} \cdot {z\cdot y}}{{z\cdot y^2} \cdot \left( x^2-x\right)}\\
&& \phantom{xxx}\blue{\text{breuken vermenigvuldigd door}}\\
&& \phantom{xxx}\blue{\text{teller met teller en noemer met noemer te vermenigvuldigen}}\\
&=& \displaystyle {{1}\over{y\cdot \left(x-1\right)}}
\\ && \phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}}\\
\end{array}#

Nieuw voorbeeld