Fonctions puissances à exposants négatifs

Fonctions: Fonctions rationnelles

Fonctions puissances à exposants négatifs

Fonction puissance à exposant négatif

Une fonction puissance à exposant entier négatif est de la forme \[f(x)=\blue{a}x^{-\orange{n}}\]

où #\orange{n}# est un nombre entier positif.

Nous pouvons également écrire cette fonction \[f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}\]

Le graphe d'une fonction puissance à exposant entier négatif passe par le point #\rv{1,\blue{a}}#, a une asymptote verticale en #x=0# et une asymptote horizontale en #y=0#.

Si #\orange{n}# est pair, alors le graphe est symétrique par rapport à l'axe des #y#. Si #\orange{n}# est impair, alors le graphe admet le point #\rv{0,0}# comme centre de symétrie.

GeoGebra powerfunction négatif

Domaine et ensemble image Une fonction puissance à exposant négatif a une asymptote verticale en #x=0#. Il est ainsi, parce que nous ne sommes pas autorisés à diviser par #0#, donc #f(0)# n'existe pas. Le domaine d'une fonction puissance à exposant négatif correspond à l'ensemble de tous les nombres à l'exception de #x=0#.

L'ensemble image d'une fonction puissance à exposant négatif pair est égal à l'ensemble des nombres positifs si #\blue a \gt 0# et à l'ensemble des nombres négatifs si #\blue a \lt 0#.

Pour une fonction puissance à exposant négatif impair, l'ensemble image correspond à l'ensemble de tous les nombres à l'exception de #x=0#.

Fonction paire et impaire

Si #\orange{n}# est pair, alors nous appelons #f(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}# une fonction paire. Cela signifie que: \[f(-x)=f(x)\]

Ceci est une autre manière d'exprimer que le graphe est symétrique par rapport à l'axe des #y#.

Si #\orange{n}# est impair, alors nous appelons #g(x)=\frac{\blue{a}}{x^{\orange{n}}}# une fonction impaire. Cela signifie que: \[g(-x)=-g(x)\]

Ceci est une autre manière d'exprimer que le graphe est symétrique par rapport au point #\rv{0,0}#.

Exemple

Pour #f(x)=\frac{\blue{1}}{x^{\orange{4}}}#, nous avons:

\[f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{4}}}=\frac{1}{16}=\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{4}}}=f(2)\]

Pour #g(x)=\frac{\blue1}{x^{\orange{3}}}#, nous avons:

\[f(-2)=\frac{\blue1}{\left(-2\right)^{\orange{3}}}=\frac{1}{8}=-\frac{\blue1}{\left(2\right)^{\orange{3}}}=-f(2)\]

Considérez le graphe d'une fonction puissance à exposant négatif, qui est une fonction de la forme #f(x)=\frac{a}{x^n}#.

Que savons-nous dire des valeurs de #n# et #a#?

La valeur de #n# est: impaire
La valeur de #a# est: positive

Le graphe est symétrique par rapport au point #\rv{0,0}#, donc la valeur de #n# est paire.
L'ordonnée #y# est positive si l'abscisse #x# est positive, donc la valeur de #a# est positive.

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