Het begrip exponentiële functie

Exponentiële en logaritmische groei: Exponentiële groei

Het begrip exponentiële functie

Celdeling bij de vorming van een embryo is een voorbeeld van zich herhalende verdubbeling. Het aantal cellen in de embryo gaat van $1$ naar $2$ naar $4$ naar $8$ en zo verder. Een formule voor het aantal cellen in de embryo na een zeker aantal celdelingen $x$ is daarom gelijk aan $2^x$ .

Dit is een voorbeeld van een vermenigvuldiging met een vaste factor, in dit geval $2$ .

Expon‌entiële fu‌nctie

Laat $g$ een positief reëel getal zijn. De functie

$f(x) = g^x$ heet de ex‌ponentiële functie met grondtal of groeifactor $g$ .

Het argument $x$ van deze functie wordt ook wel exponent genoemd. Het is immers de exponent van de machtsverheffing met grondtal $g$ .

De functiewaarde is soms exact, maar altijd bij benadering te berekenen:

$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$ is een exacte berekening van de waarde van de exponentiële functie $4^x$ in $-2$ .
$1.3^\frac{1}{2} = \sqrt{1.3}$ is een exacte berekening van de waarde van de exponentiële functie $1.3^x$ voor $x=\frac{1}{2}$ .
$10^{5.7} = 10^5 \cdot 10^{0.7} \approx 5.01 \cdot 10^5$ is een benadering van de waarde van de exponentiële functie met grondtal $10$ in $5.7$ .

In de introductie is $x$ het aantal cellen in een embryo en daarom altijd een positief geheel getal. In het algemeen kan $x$ alle mogelijk reële waarden aannemen. Met andere woorden: de exponentiële functie is gedefinieerd op de hele reële lijn.

Anders dan bij een machtsfunctie zoals $x^3$ staat bij een exponentiële functie het argument (de variabele $x$ ) in de exponent: $3^x$ . Vandaar de naam exponentiële functie.

Wiskundigen spreken vaak over $g$ als het grondtal van de exponentiële functie $g^x$ . In de financiële rekenkunde is de naam groeifactor meer gebruikelijk.

De groeifactor is de relatieve toename van de functiewaarde per eenheid toename van $x$ : iedere keer dat $x$ toeneemt met $1$ wordt de functiewaarde nogmaals vermenigvuldigd met de groeifactor.

Monotonie van de exponentiële functie

De exponentiële functie $f(x) = g^x$ neemt af als $0\lt g\lt 1$ en neemt toe als $g\gt 1$ .

Stel $0\lt g\lt 1$ . We gebruiken het feit dat $g^a\gt1$ voor $a\lt0$ . Als $x$ en $y$ reële getallen zijn met $x\lt y$ , dan is $x-y$ negatief, zodat $g^{x-y}\gt 1$ . Vermenigvuldiging van beide kanten met het positieve getal $g^y$ geeft $g^{x}\gt g^y$ . Met andere woorden, als de waarde van $x$ groter wordt (zoals $y$ ), dan wordt de waarde van $g^x$ kleiner. Dit laat zien dat de exponentiële functie $f(x) = g^x$ afneemt als $0\lt g\lt 1$ .

Stel $g\gt 1$ . We gebruiken het feit dat $g^a\gt1$ voor $a\gt0$ . Als $x$ en $y$ reële getallen zijn met $x\lt y$ , dan is $y-x$ positief, zodat $g^{y-x}\gt 1$ . Vermenigvuldiging van beide kanten met het positieve getal $g^x$ geeft $g^{y}\gt g^x$ . Met andere woorden, als de waarde van $x$ groter wordt (zoals $y$ ), dan wordt de waarde van $g^x$ groter. Dit laat zien dat de exponentiële functie $f(x) = g^x$ toeneemt als $g\gt 1$ .

Iedere exponentiële functie met $g \gt0$ en $g\neq 1$ heeft een horizontale asymptoot, $y = 0$ . Dit betekent hier dat de functiewaarde nooit onder $0$ komt, maar er wel willekeurig dicht bij (als je $x$ maar voldoende ver weg van $0$ en negatief kiest in het geval $g\gt1$ en als je $x$ maar groot genoeg maakt in het geval $0\lt g\lt1$ ).

Het geval $g=1$ is uitgezonderd; dan is $g^x$ gelijk aan de constante functie $1$ . Met andere woorden: de functiewaarde is altijd gelijk aan $1$ .

Voor de exponentiële functie met groeifactor $3$ geldt de formule $f(x) = 3^x$ .

De tabel laat zien hoe snel de functiewaarde toeneemt:

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$	$27$	$81$

Je ziet iedere keer (dat wil zeggen: bij stapgrootte $1$ voor $x$ ) een verdrievoudiging van de functiewaarde:

$f(x+1) = 3^{x+1} = 3\cdot 3^x = 3\cdot f(x)$

Als $x$ met $1$ toeneemt, neemt $f(x)$ met $2\cdot f(x)$ toe.

Je kunt de snelle toe- en afname ook zien in onderstaande grafiek van $g^x$ : met de slider kun je de waarde van groeifactor $g$ zelf wijzigen. Kijk ook even wat er gebeurt als $g=1$ en als $g\lt 1$ .

Exponentiële en logaritmische groei: Exponentiële groei

Het begrip exponentiële functie

Waarmee kan de AI Bot je helpen?