Nu we weten welke uitspraken wiskundig gezien kunnen worden als een propositie, zullen we operaties definiëren om nieuwe proposities te maken uit bestaande. Deze operaties noemen we logische operaties en we duiden ze aan met logische operatoren. We kijken nu naar drie soorten logische operatoren. Eerst beschouwen we de operator die de toewijzing van waar of onwaar inverteert.
De negatie (ontkenning) van een propositie is het tegenovergestelde van de oorspronkelijke propositie. De ontkenning is waar precies wanneer de oorspronkelijke propositie onwaar is, en onwaar precies wanneer de oorspronkelijke propositie waar is.
Negatie wordt aangeduid met de niet-operator: . Dus, als staat voor een propositie dan wordt de ontkenning ervan aangeduid met .
Voorbeeld
De ontkenning van de propositie wordt gegeven door .
Als waar is, dan is onwaar.
Als onwaar is, dan is waar.
Operator notatie:
Haakjes worden gebruikt om de onderdelen van uitspraken op een zodanige manier op te delen dat het duidelijk wordt bij welke delen operatoren horen. Dus, als staat voor een propositie dan kan haar ontkenning ook worden geschreven als .
In de propositie maken de haakjes duidelijk dat de gehele uitspraak omvat in plaats van alleen het eerste deel, zoals in . Natuurlijk helpen de aanhalingstekens in dit geval ook.
Het voorbeeld toont aan dat enig inzicht nodig is, waar het woord "niet" in de uitspraak moet worden toegevoegd om de ontkenning te krijgen. Maar er is een automatische manier om de propositie in haar ontkenning te veranderen: gewoon de woorden voor de propositie zetten. Dus, het ontkennen van de propositie zou leiden tot . De propositie kan worden gezien als een kortere versie hiervan.
Het gebruik van vereist nog steeds enige voorzichtigheid. De propositie heeft de ontkenning . Maar dit kan worden vereenvoudigd tot of . Haakjes zijn een goede manier om deze onduidelijkheden te verhelpen.
Suggestie van Ernst voor tweede alinea:De negatie van een samengestelde propositie heeft betrekking op de propositie als geheel. De ontkenning van is dus ondubbelzinnig , oftewel . Deze uitspraak verschilt van uitspraken zoals bijvoorbeeld en , waarin de negaties slechts op afzonderlijke delen betrekking hebben in plaats van op de uitspraak als geheel.
Haakjes zijn een goede manier om deze verschillende proposities van elkaar te onderscheiden:
We gebruiken vaak letters voor proposities om op een bondige manier uitspraken te doen. Stel dat staat voor een propositie, dan interpreteren we als afkorting voor deze propositie.
Later gaan we dieper in op variabelen.
We gaan nu in op de samenstelling van twee proposities die overeenkomen met de gebruikelijke conjunctie "en".
De conjunctie van twee proposities is een propositie die waar is precies wanneer beide originele proposities waar zijn. Als tenminste één van deze proposities onwaar is, dan is de conjunctie ook onwaar.
Conjunctie wordt aangeduid met de en-operator: . Dus, als en proposities zijn, dan wordt hun conjunctie aangeduid door .
Voorbeeld
De conjunctie is precies waar wanneer de proposities en beide waar zijn.
Wanneer ten minste één van deze proposities onwaar is, dan is ook onwaar.
Operator notatie: .
De en-operator, , is een zogenaamde infix operator.
We zeggen dat een operator een infix is als het tussen de argumenten wordt geschreven. De meest gebruikelijke manier van het schrijven van een operator op twee argumenten en is , maar door te zeggen dat de operator infix is bedoelen we dat het effect van op en te schrijven is als . Hier, met , wordt het resultaat .
Andere voorbeelden van infix operators zijn de gebruikelijke "" en "" van de rekenkunde.
Haakjes worden gebruikt om de onderdelen van uitspraken op een zodanige manier op te delen dat het duidelijk wordt bij welke delen operatoren horen. Bijvoorbeeld, kan worden geschreven als , waarbij de haakjes duidelijk maken wat de argumenten van de
en-operator zijn. Door de
niet-operator buiten de twee argumenten te haken krijgen we dat onze conjunctie geschreven kan worden als
De eerste
niet-operator wordt toegepast op en het heeft geen effect op de propositie . De tweede
niet-operator komt van het woord "niet" in en het werkt op . Dus de argumenten van de
en-operator zijn en waarbij is and is . Formeel kunnen we de conjunctie schrijven als .
We moeten voorzichtig zijn bij het plaatsen van haakjes en het bereik van de logische operator begrijpen. We willen niet onze beginconjunctie verwarren met een andere uitdrukking die iets anders uitdrukt (bijvoorbeeld ). Wanneer we
prioriteiten introduceren, vinden we een unieke manier van het plaatsen van haakjes.
Zoals we konden verwachten, gaan we nu in op de samenstelling van twee proposities die correspondeert met de gebruikelijke disjunctieve "of".
De disjunctie van twee proposities is een propositie die waar is wanneer ten minste één van de oorspronkelijke proposities waar is. De disjunctie is alleen onwaar wanneer beide originele proposities onwaar zijn.
Disjunctie wordt aangeduid met de of-operator: . Dus, als en proposities zijn, dan wordt hun disjunctie aangeduid door .
Voorbeeld
De disjunctie is waar wanneer ten minste één van de proposities of waar is. Als beide proposities onwaar zijn, dan is de propositie onwaar.
Operator notatie: .
Net als voor "en" staat de operator "of" normaal gesproken tussen de twee proposities waarop de operator wordt toegepast. Dit maakt ook "of" een infix operator.
De propositie die ontstaat uit het combineren van twee proposities met "of" is waar als ten minste één van de oorspronkelijke proposities waar is. In het bijzonder, als en beide waar zijn, dan is ook waar.
Het feit dat waar is wanneer zowel als waar zijn, betekent dat de "of" die we gebruiken niet exclusief is.
De exclusieve of-operator wordt vaak aangeduid met de infix operator , ook bekend als en . De propositie is waar wanneer precies één van en waar is. In het bijzonder is onwaar wanneer en beide waar zijn.
In onze dagelijkse taal stellen we vaak vragen met de operator "of". De betekenis in onze dagelijkse taal verschilt echter van het gebruik in de wiskunde.
Als we in normale taal vragen ?, verwachten we dat het antwoord ofwel ofwel is.
In de wiskunde zal het antwoord "waar" of "onwaar" zijn, afhankelijk van de vraag of ten minste één van de proposities en waar is.
Bijvoorbeeld, in normale taal kan het antwoord op de vraag
zijn of .
In de wiskunde zou het antwoord echter zijn , omdat ten minste één van de uitdrukkingen en waar moet zijn.
De behoefte aan haakjes wordt duidelijker nu we meer operatoren hebben. Bijvoorbeeld is dubbelzinnig omdat het kan betekenen dat
of De twee interpretaties vertegenwoordigen proposities die
inequivalent zijn, dat wil zeggen dat er een situatie is waar één van beide waar is en de andere onwaar is. Inderdaad, als het niet regent, de zon schijnt en het warm is dan is de eerste interpretatie waar en de tweede onwaar.
Later zullen we een oplossing bieden door het opleggen van
prioriteiten, wat zal leiden tot een unieke manier van het plaatsen van haakjes.
Welke logische operatoren worden er gebruikt in de volgende propositie?
Conjunctie
De propositie "Ik reis met de trein en met de fiets" bevat een conjunctie. De twee delen zijn "Ik reis met de trein" en "Ik reis met de fiets", en deze twee delen worden verbonden door de en-operator.
Er is hier geen sprake van negatie of disjunctie.
Negatatie, conjunctie en disjunctie
