ArjehDemo; Taylor, l'Hopital, Steven, Vakantiecursus: Taylor benaderingen
Taylorreeksen
De exponentiële functie heeft zichzelf als afgeleide. We nemen en vinden met de stelling van Taylor met voor een of andere \(0<\xi
We nemen nu en bedenken dat het grondtal van de natuurlijke logaritme kleiner dan 3 is (d.w.z. ). Dan geldt dus met \(0
In dit laatste voorbeeld zou je zoveel termen kunnen opnemen als je wilt en de volgende reeksontwikkeling kunnen opschrijven: Dit heet de Taylorreeks van rondom .
De Taylorreeksen van de sinus- en cosinusfunctie rondom de oorsprong zijn:
De Taylorreeksen voor de exponentiele functie, sinusfunctie en cosinusfunctie zijn niet alleen voor alle waarden rondom geldig, maar zelfs voor alle waarden van . Dit is niet altijd zo:
Voor de Taylorreeeks van geldt dat maar dit is alleen waar voor \(-1
Je kunt er dus ook mee benaderen door de eerste termen van op te tellen. Maar een goede benadering krijg je pas bij gebruik van heel veel termen: zelfs na 1000 termen heb je nog maar 2 decimalen correct.
Het kan ook slimmer door te nemen omdat je je realiseert dat Dan krijg je al na 10 termen uit de Taylorreeks een benadering van die correct is in 4 decimalen.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.