De tangens functie heeft op het interval \(\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\) een inverse functie die arctangens genoemd wordt en genoteerd wordt als \(\arctan\); dus \[\tan\bigl(\arctan(x)\bigr)=x\tiny.\] De grafiek van \(\arctan\) ziet er als volgt uit:

Uit de definitie volgt dat \(\arctan(1)=\frac{\pi}{4}\) en dus \[\pi=4\arctan(1)\tiny.\] Als we een goede benadering van \(\arctan(1)\) kunnen berekenen, dan kunnen we zo een goede benadering van het getal \(\pi\) vinden. We doen dit door eerst een Taylorreeksbenadering van de arctangensfunctie te bepalen.

Voor de afgeleide van de tangensfunctie geldt: \[\frac{d\,\tan x}{dx}=\frac{1}{\cos^2x}=1+\tan^2x\tiny.\] Uit de kettingregel volgt met \(u=\arctan(x)\) dat \[\frac{d\,\tan(u)}{du}\cdot \frac{d\,u}{dx}=1\] en dus \[(1+\tan^2u)\cdot\frac{d\,\arctan x}{dx}=1\] oftwel \[(1+x^2)\cdot\frac{d\,\arctan x}{dx}=1\] Met andere woorden: \[\frac{d\,\tan x}{dx}=\frac{1}{1+x^2}\tiny.\] De Taylorreeks van het rechterlid rondom \(x=0\) is eenvoudig uit te rekenen: \[\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+x^8-x^{10}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\cdot x^{2k}\] Maar dan kunnen we ook wel een reeks vinden waarvan de afgeleide gelijk is aan bovenstaande Taylorreeks; dit is dan per constructie de Taylorreeks van \(\arctan x\) rondom \(x=0\). Er geldt: \[\arctan x = x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+\frac{1}{9}x^9-\frac{1}{11}x^{11}+\cdots=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\cdot x^{2k+1}\]

Python opdracht

Gebruik de Taylorreeks van \(\arctan x\) rondom \(x=0\) om \(\pi\approx 3.14159265\ldots\) te benaderen.

Maak een Python programma dat een tabel oplevert waarin staat hoeveel termen uit de Taylorreks nodig zijn om \(\pi\) correct in 1 t/m 5 decimalen te benaderen. Met andere woorden, gebruik de formule van Liebniz (1671) \[\pi=4\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\] om \(\pi\) te benaderen.

Is het convergentiegedrag van deze methode in overeenstemming met de afschatting van de afbreekfout volgens de stelling van Taylor?

Pas je programma aan door de volgende eindige som te gebruiken \[\frac{1}{2n}+4\sum_{k=0}^{2n-1}\frac{(-1)^{k}}{2k+1}\] als benadering van \(\pi\). Maak een tabel met benaderingen voor \(n=1,\ldots 100\) samen met afbreekfouten. Wat valt je op?