We hebben al gezien dat we een 'nette' functie \(f\) in de buurt van een punt \(x=a\) kunnen benaderen met de raaklijn gegeven door de vergelijking \[y=f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\] Dit is precies die rechte lijn, die in de buurt van \(\bigl(a, f(a)\bigr)\) het dichtst bij de grafiek van \(f\) ligt.
De rechte lijn is de grafiek van de volgende veeltermfunctie \[P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)\tiny.\] Merk op dat \(P\) de enige eerstegraadsveelterm is met de eigenschap dat \[P(a)=f(a),\quad P'(a)=f'(a)\]

Als er één schaap over de dam is volgen er meer: we kunnen het bovenstaande ook voor tweedegraadsveeltermen doen. We veronderstellen dat ook de tweede afgeleide van \(f\) bestaat (dit is onderdeel van de 'netheid' van de functie).
Neem nu de veeltermfunctie \[P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}\!f''(a)\cdot (x-a)^2\tiny.\] Dan geldt \[P(a)=f(a),\quad P'(a)=f'(a),\quad P''(a)=f''(a)\tiny.\] De grafiek van \(P\) is precies die parabool, die in de buurt van \(\bigl(a, f(a)\bigr)\) het dichtst bij de grafiek van \(f\) ligt. Deze parabool ligt in de buurt van \(\bigl(a, f(a)\bigr)\) dichter bij de grafiek van \(f\) dan de raaklijn in dit punt.

Je kunt hierna weer doorgaan met derdegraadsveeltermen en de veeltermfunctie \[P(x) = f(a)+f'(a)\cdot (x-a)+ \frac{1}{2}\!f''(a)\cdot (x-a)^2+ \frac{1}{6}\!f'''(a)\cdot (x-a)^3\] nemen. De grafiek van deze derdegraadsveelterm ligt dan weer dichter dan bij de grafiek van \(f\) dan beide voorafgaande benaderingen.

De volgende stelling van Taylor maakt bovenstaande uitspraken precies; bovendien werkt hij voor polynomen van willekeurige graad. We zeggen dat een functie \(k\) keer differentieerbaar is als \(f', f'', f''', \ldots f^{(k)}\) bestaan.

Eigenlijk zouden we \(P_k\) en \(R_k\) moeten schrijven om de afhankelijkheid van \(k\) aan te geven, maar die is meestal uit de context duidelijk. Voor numerieke benaderingsmethoden zijn de volgende twee opmerkingen van belang: \[\frac{R_k(x)}{(x-a)^k}\rightarrow 0\;\;\mathrm{als}\;\;x\rightarrow 0\] en \[|R_k(x)|\le M\cdot |x-a|^{k+1}\;\;\mathrm{als\;}a-r\le x\le a+r\mathrm{\;voor\;zekere\;}M\mathrm{\;en\;}r\] Om schrijfwerk te besparen, maar toch een indicatie van de orde van grootte van een afbreekfout aan te geven, maakt men vaak gebruik van het (grote \(O\)) \(O\)-symbool van Landau en schrijft men ook \[R_k(x)=O\bigl((x-a)^{k+1}\bigr)\tiny.\]