We beschrijven wat een differentiaalvergelijking is en bespreken het exponentiële groeimodel. Bedenk dat #y^{(n)}# de #n#-de afgeleide van #y# ook wel de afgeleide van orde #n# genoemd wordt.
Een differentiaalvergelijking is een vergelijking waarvan de onbekende een functie is en waarin één of meer afgeleiden van deze functie voorkomen.
Een differentiaalvergelijking voor een of meer functies van een (onafhankelijke) variabele heet een gewone differentiaalvergelijking, afgekort GDV (in het Engels ODE voor ordinary differential equation).
In deze cursus zullen we ons alleen moeten bezighouden met GDV's voor een enkele functie van een enkele variabele. De algemene vorm van een gewone differentiaalvergelijking voor een functie \(y\) van een enkele variabele \(t\) op een bepaald interval is \[ \varphi(t,y,y',y'',\ldots)=0\] waarbij \(\varphi\) een multivariate functie is. Hierbij is #y# de onbekende functie, ook wel de afhankelijke variabele geheten, en is #t# het argument of de onbekende functie, ook wel de onafhankelijke variable geheten.
- De orde van deze gewone differentiaalvergelijking is de volgorde van de hoogste afgeleide van \(y\) die in \(\varphi\) voorkomt.
- Als de functie \(\varphi\) een veeltermfunctie in elk van de afgeleiden van #y# is (niet noodzakelijkerwijs van #y# zelf), dan is de graad van deze gewone differentiaalvergelijking gelijk aan de graad van \(\varphi\) als veelterm in de hoogste afgeleide van #y#.
- Als de functie \(\varphi\) lineair is in #y# en alle afgeleide daarvan, dan wordt de GDV lineair genoemd.
In het algemeen kan een differentiaalvergelijking meerdere onbekenden hebben, die functies zijn van één of meer variabelen. Een differentiaalvergelijking voor een of meer functies van twee of meer variabelen, waarbij de afgeleiden partiëel zijn, wordt een partiële differentiaalvergelijking, afgekort: PDV, genoemd.
Partiële differentiaalvergelijkingen worden niet behandeld in dit hoofdstuk. De differentiaalvergelijkingen waar we mee bezig houden hebben één enkele onbekende functie van één variabele.
Een onbekende in een differentiaalvergelijking is niet een getal, maar een functie (van bijvoorbeeld plaats of tijd). Deze moet differentieerbaar zijn, en dus ook continu.
Berekenen van een primitieve van de functie #g# is hetzelfde als het oplossen van de differentiaalvergelijking \[y'=g\] Vaak schrijven we #y'(t) =g(t)# voor deze vergelijking. Zoals bekend uit het hoofdstuk Integratie wordt de algemene oplossing aangeduid als \[\int g(t)\,\dd t\]
Deze uitdrukking stelt een differentieerbare functie #y(t)# voor met afgeleide #g(t)# en wordt bepaald op een constante term na. Indien bijvoorbeeld #g(t)=1#, de constante functie #1#, dan is #y(t) = t# een oplossing van de differentiaalvergelijking #y'(t)=1# en heeft elke oplossing de vorm #t+C#, waarbij #C# een constante is.
De integraal #\int g(t)\,\dd t# beschrijft dus de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking #y'(t) =g(t)#. Het is een verzameling oplossingen beschreven met behulp van een functievoorschrift, waarbij één of meer parameters (zogenaamde integratieconstanten), zoals #C# in bovenstaand voorbeeld, optreden.
Omdat de onafhankelijke variabele vaak de tijd is (het is een goede gewoonte om de variabele #t# te laten staan voor tijd), zijn de GDV's zijn ook bekend als dynamische systemen.
Het doel van vergelijkingen is om oplossingen (of althans bruikbare eigenschappen van de oplossingen) te vinden. In het algemeen worden die gevonden door het herschrijven van de vergelijking als eenvoudiger differentiaalvergelijkingen of stelsels (zo mogelijk zelfs zonder afgeleiden). Evenals bij vergelijkingen zonder afgeleiden, is het nuttig voor dit proces om aan te kunnen geven dat twee vergelijkingen dezelfde oplossing hebben.
Twee GDV's met dezelfde afhankelijke en onafhankelijke variabelen worden gelijkwaardig genoemd als zij dezelfde oplossing hebben.
Bijvoorbeeld, de twee differentiaalvergelijkingen
\[y\cdot y'-2y'+y=2\phantom{xxxx}\text{ en }\phantom{xxxx} (y'+1)\cdot(y-2)=0\]
zijn gelijkwaardig omdat met standaard algebraïsche bewerkingen de één omgezet kan worden in de andere.
De differentiaalvergelijking #y'=t\cdot y# met onbekende #y# als functie van #t# komt te voorschijn uit #\frac{y'}{y}=t# na vermenigvuldiging met #y#. Maar de oplossing #y=0# van de eerste GDV is geen oplossing van de tweede. Daarom zijn ze niet equivalent. Net zoals voor gewone vergelijkingen (afgezien van het domein voor #y#), is de differentiaalvergelijking #y'=t\cdot y# equivalent met \[\frac{y'}{y}=t\lor y=0\]
De groei van een populatie wordt bepaald door verschillende biologische processen en wordt rechtstreeks beïnvloed door de omvang van de populatie. Onder ideale omstandigheden geldt dat als de grootte van de bevolking toeneemt, de snelheid van de groei ook toeneemt. Een eerste-orde differentiaalvergelijking kan worden gebruikt om de groei van een populatie in verhouding tot de grootte ervan uit te drukken. Een voorbeeld is \[y' = \dfrac{1}{3} y \]
Oplossen van deze differentiaalvergelijking betekent het zoeken naar een functie \(y=f(x)\) zodat de groei \(\frac{\dd y}{\dd x}\), namelijk de eerste-orde afgeleide \(f'(x)\), gelijk is aan een derde van de waarde #f(x)# van die functie.
In ons concrete voorbeeld is #x# de onafhankelijke variabele, de tijd. De onbekende functie \(y = f(x)\), de afhankelijke variabele, geeft aan hoe groot de populatie is. De GDV drukt de wiskundige intuïtie uit dat het percentage van de bevolkingsgroei groter wordt naarmate de bevolking toeneemt.
Hier zijn drie bekende dynamische systemen voor het modelleren van groei.
- Exponentiële groei of verval: \(y'(t) = r\cdot y( t)\) waarbij #r# is een constante is.
- Begrensd exponentiële groei: \(y'(t) = r\cdot \bigl(K- y(t)\big)\) waarbij \(r\) en \(K\) niet-negatieve constanten zijn.
- Logistieke groei: \(y'(t) = r\cdot y(t)\cdot\left(1-\frac{y(t)}{K}\right)\) waarbij \(r\) en \(K\) constanten ongelijk aan #0# zijn.
Hieronder wordt het eerste voorbeeld worden nader uitgewerkt.
Bekijk de volgende differentiaalvergelijking. \[y(x)\cdot y'(x) = 2-5x\]
We laten zien hoe deze GDV kan worden opgelost. Dankzij de kettingregel voor differentiëren kunnen we de linkerkant te herschrijven.
\[\begin{array}{rcl}
\frac{1}{2}\dfrac{\dd}{\dd x}\left( y(x)\right)^2 &=& 2-5x\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{y(x)\cdot y'(x) =\frac{1}{2}\frac{\dd}{\dd x}\left(y(x)\right)^2}\\
\dfrac{\dd}{\dd x}\left( y(x)\right)^2 &=& 2\cdot \left(2-5x\right)\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{factor }2\text{ naar rechts}}\\
\left( y(x)\right)^2 +C &=& \int2\cdot \left(2-5x\right)\,\dd x\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{beide zijden geïntegreerd}}\\
\left( y(x)\right)^2 &=&2\cdot \left(2\cdot x-{{5\cdot x^2}\over{2}}\right)+C\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieve rchts berekend}}\\ y(x)&=&\pm \sqrt{2\cdot \left(2\cdot x-{{5\cdot x^2}\over{2}}\right)+C}\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{wortel genomen}}\\
\end{array}
\]
Met de eis in de definitie van lineariteit dat #\varphi# lineair is in #y# en alle afgeleide daarvan bedoelen we dat #\varphi# lineair is als functie van de vector #\rv{y,y',\ldots,y^{(n)}}#. Kruisproducten, als #y\cdot y'#, zijn niet toegestaan.
Een lineaire eerste orde GDV heeft bijvoorbeeld de vorm
\[a(t)\cdot y' +b(t)\cdot y+c(t)=0\]
voor functies #a#, #b#, #c# van de onafhankelijke variabele #t#. Later zullen we beschrijven hoe zulke gewone differentiaalvergelijkingen opgelost kunnen worden.
Een eerste-orde GDV van graad #1# hoeft niet lineair te zijn, omdat het niet vereist is dat deze een veelterm is van graad #1# in #y#. Bijvoorbeeld, #y' = t^2\cdot y^3+5# heeft orde #1# en graad #1#, maar is niet lineair.
Er kunnen vele oplossingen zijn van een GDV. Het beginwaardeprobleem bij de GDV zal het aantal oplossingen omlaag brengen door natuurlijke aanvullende voorwaarden op de onbekende functie.
In het algemeen kan een differentiaalvergelijking meerdere oplossingen hebben. Met behulp van constanten, vaak integratieconstanten genoemd, kunnen we de algemene oplossing van een differentiaalvergelijking soms beschrijven door middel van een functievoorschrift waar de integratieconstanten in voorkomen.
Om een bepaalde oplossing aan te wijzen zijn aanvullende voorwaarden nodig. Wanneer deze voorwaarden allemaal gerelateerd zijn aan de waarde van de oplossing #y# of een afgeleide ervan voor een gegeven waarde van de onafhankelijke variabele (denk aan de toestand #y(0)# op tijdstip \(0\) of de snelheid #y'(0)# op tijdstip \(0\)), dan spreken we van een beginwaardeprobleem.
Als er een unieke oplossing van de GDV is die voldoet aan de beginvoorwaarde (hiermee bedoelen we de voorwaarde(n) van het oorspronkelijke beginwaardeprobleem), dan noemen we deze de specifieke oplossing van het beginwaardeprobleem.
Bekijk het beginwaardeprobleem \[ y' = y\phantom{xxx} \text{ met beginvoorwaarde }\phantom{xxx}\rv{t,y} = \rv{0,1}\]Hier is #y# de afhankelijke variabele en #x# de onafhankelijke variabele.
De beginvoorwaarde stelt dat de grafiek van de oplossing #y# moet gaan door het punt #\rv{0,1}#; met andere woorden, #y(0)=1#.
De algemene oplossing van de GDV, zoals we snel zullen zien, is #y(t)=C\cdot\e^t#. Deze functie voldoet aan de beginvoorwaarde #y(0)=1# dan en slechts dan als #C=1#. Daarom is de specifieke oplossing van het beginwaardeprobleem \[y(t)=\e^t\]
Als alle aanvullende eisen betrekking hebben op de grens van een interval waarop de functie wordt gedefinieerd (denk aan #y(2)=7# en #y(9)=13# voor een functie #y# het interval #\ivcc{2}{9}#), dan spreken we van een randwaardeprobleem. Dit wordt vaak afgekort tot IVP vanwege de Engelse benaming Initial Value Problem. We praten ook dan over de specifieke oplossing van het randwaardeprobleem.
Afgezien van de zorgen om het bestaan van een oplossing, zullen we ons bezig moeten houden met het vinden van oplossingen. We zullen nu het speciale voorbeeld van exponentiële groei behandelen.
Laat # r # een reëel getal zijn. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking \[\frac{\dd y}{\dd t}= r \cdot y\] is \[y(t)=C\cdot \e^{ r \cdot t}\] waarbij \(C\) een constante is.
De exponentiële functie \[y(t)=\e^t\] is gelijk aan zijn eigen afgeleide en voldoet dus aan de differentiaalvergelijking \(y'=y\). Met andere woorden, het is een oplossing van de GDV. De vergelijking \(y'=y\) heeft ook andere oplossingen, bijvoorbeeld \[y(t)= 2\e^t,\quad y(t)= -\e^t,\quad y(t)= -\tfrac{1}{3}\e^t \] Deze oplossingen hebben alle de vorm #y(t)=C\cdot \e^t# voor een bepaalde constante \(C\). De stelling laat zien dat elke oplossing deze vorm heeft.
Stel dat #y# een oplossing is. Om de stelling te bewijzen laten we zien dat #z(t)=y(t)\cdot\e^{- r \cdot t}# een constante functie is.
Er geldt #y(t)= z(t)\cdot \e^{ r \cdot t}# en dankzij de productregel voor differentiatie \[\begin{array}{rcl}y'(t)&=&\frac{\dd}{\dd t}\left(z(t)\cdot \e^{ r \cdot t}\right)\\ &=& z'(t)\cdot \e^{ r \cdot t} + z(t)\cdot \frac{\dd}{\dd t}\bigl(\e^{ r \cdot t}\bigr)\\ &=& z'(t)\cdot \e^{ r \cdot t} + r \cdot z(t)\cdot \e^{ r \cdot t}\end{array}\] Het feit dat de functie \(y\) voldoet aan de differentiaalvergelijking \(y'= r \cdot y\) betekent \[z'(t)\cdot \e^{ r \cdot t} + r \cdot z(t)\cdot \e^{ r \cdot t}= r \cdot z(t)\cdot \e^{ r \cdot t}\] Dit komt overeen met #z'(t)\cdot \e^{ r \cdot t}=0#, en aangezien #\e^{ r \cdot t}# nooit nul is, ook met #z'(t)=0#. Gezien de uniciteit van de primitieve op een constante na, volgt hieruit dat de functie \(z(t)\) constant is. Daarom is er een constante #C# zodat #C=y(t)\cdot\e^{- r \cdot t}#. Dit betekent #y(t)=C\cdot\e^{ r \cdot t}#.
Het bijzondere geval # r =0# is al bekend. De enige functies met afgeleide #0# zijn de constante functies.
Als # r \gt0#, dan zal #\abs{y(t)}#, de grootte van #y#, toenemen en zelfs naar #\infty# voor #t\to\infty# gaan. In dit geval is sprake van groei.
Als # r \lt0#, dan zal #\abs{y(t)}#, de grootte van #y#, afnemen en zelfs naar #0# gaan voor #t\to\infty#. In dit geval is sprake van verval.
In veel exponentiële groeimodellen kennen we de waarde van #y#, zeg #y = 2#, in het beginpunt, zeg #t=0#. Om de specifieke oplossing van de exponentiële groeivergelijking te vinden die voldoet aan deze voorwaarde vullen we de grenswaarden in in de algemene oplossing \(y(t)=C\cdot \e^{ r \cdot t}\). Dit geeft de vergelijking \(2 = C\). Daarom is \(y(t) = 2 \e^{ r \cdot t}\) de specifieke oplossing.
In de figuur hieronder is de functie #y(t) = y_0 a ^t = y_0 \e^{k\cdot t}# getekend, waarbij #k= \ln(a)# en #y_0=y(0)\ne0#. We veronderstellen #k\gt0# voor een groeimodel. Als we #k=-r# nemen, met #r\gt0#, dan krijgen we een vervalmodel. Deze kan bekeken worden door het de betreffende hokje (decay) aan te klikken.
Om de waarde van #a#, en daarmee #k# uit een groeimodel te bepalen, maken we gebruik van de verdubbelingstijd #t_{\text{dubbel}}#. Dit is de tijd waarin de waarde van #y# verdubbelt. In formulevorm kan dit worden uitgedrukt als \(y(t+t_{\text{dubbel}}) = {2}y(t)\). Invullen van het functievoorschrift geeft \(y_0 a ^{t+t_{\text{dubbel}}} = {2}y_0a ^{t}\), zodat \[ t_{\text{dubbel}} = \frac{\ln\left(2\right)}{\ln(a)} \phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx}k= \ln(a)= \frac{\ln(2)}{t_{\text{dubbel}}}\]Deze uitdrukking is onafhankelijk van #t#, zoals geïllustreerd wordt door de vaste afstanden tussen de punten op de #t#-as.
Om de waarde van #a#, en daarmee #r# uit een vervalmodel te bepalen, maken we gebruik van de halfwaardetijd #t_{\text{half}}#. Dit is de tijd waarin de waarde van #y# halveert. In formulevorm luidt dit \(y(t+t_{\text{half}}) = \frac{1}{2}y(t)\). Invullen van het functievoorschrift geeft \(y_0 a ^{t+t_{\text{half}}} = \frac{1}{2}y_0a ^{t}\), zodat \[ t_{\text{half}} = \frac{\ln\left(\frac12\right)}{\ln(a)} = -\frac{\ln(2)}{\ln(a)}\phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx}r=- \ln(a)= \frac{\ln(2)}{t_{\text{half}}}\]Ook deze uitdrukking is onafhankelijk van #t#, zoals geïllustreerd wordt door de vaste afstanden tussen de punten op de #t#-as. In de grafiek kunnen zowel de startwaarde #y_0# als de verdubbelingstijd #t_{\text{dubbel}}# dan wel halveringstijd #t_{\text{half}}# versleept worden.
Los de volgende differentiaalvergelijking op. \[y'(x) = x\]
Schrijf je antwoord in de vorm #y(x)= f(x)#, waarbij #f(x)# een uitdrukking is in de onafhankeijke variabele #x# en de integratieconstante #C#, zonder andere variabelen.
#y(x) = {{x^2}\over{2}}+C#
Dit is een eenvoudig voorbeeld van een differentiaalvergelijking. Door links en rechts te integreren komen we uit op het probleem om #x# te primitiveren:
\[\begin{array}{rcl}
y(x) +D &=& \int x\,\dd x\\
&&\phantom{xx}\color{blue}{D\text{ is een constante}}\\
y(x) +D &=& \displaystyle {{x^2}\over{2}}+C \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{primitieve rechts berekend, met constante }C}\\
y(x) &=& \displaystyle {{x^2}\over{2}}+C \\
&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{constanten naar rechts en vervangen door een enkele constante }C}\\
\end{array}
\]
Het begrip differentiaalvergelijking
