Om een functie #f# in de omgeving van een punt #p# te analyseren is het nuttig om een benadering van de functie op een klein interval rond #p# te hebben door middel van een veeltermfunctie. Voor willekeurig kleine intervallen rond #p# is de constante functie #f(p)# de beste benadering van #f# door middel van een constante en de functie #f(p)+x\cdot f'(p)# de beste lineaire benadering van #f#. In het algemeen zullen we de Taylorveelterm rond #p# van orde #n# bestuderen voor elk niet-negatief getal #n#, die de beste benadering van #f# geeft onder de veeltermen van graad hoogstens #n# op kleine intervallen rond #p#.
Laat #n# een positief geheel getal zijn en #f# een #(n+1)#-maal differentieerbare functie op een open interval rond een punt #p#.
De #n#-de orde Taylorveelterm van #f# rond #p# is de veelterm #P_n(x)# gegeven door \[P_n(x)=f(p)+f'(p)(x-p)+\frac{1}{2!}f^{(2)}(p)(x-p)^2+\cdots+\frac{1}{n!}f^{(n)}(p)(x-p)^n\]
Als #f# oneindig vaak differentieerbaar is, en de limiet #\lim_{n\to\infty}P_n(x)# bestaat voor elke #x# in een interval om #p#, dan heet de limiet de Taylorreeks van #f# rond #p#.
Als #p=0#, dan wordt de Taylorreeks ook wel de Maclaurinreeks genoemd.
De Maclaurinreeks van de sinus wordt gegeven door
\[\sin(x) = x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\]
Met inductie naar #n# is te bewijzen dat #\sin^{(n)}(x) # gelijk is aan # (-1)^{\lfloor n/2\rfloor}\sin(x)# als #n# even is en gelijk aan # (-1)^{\lfloor n/2\rfloor}\cos(x)# als #n# oneven is. Bijgevolg geldt #\sin^{(n)}(0) = 0 # als #n# even is en #\sin^{(n)}(0) =(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}# als #n# oneven is, zodat de Maclaurinreeks van de sinusfunctie, dat wil zeggen: de Taylorreeks rond #0# van #\sin(x)#, gelijk is aan
\[\begin{array}{rcl}\sin(x) &=&\displaystyle\sin(0)+\sin^{(1)}(0)\cdot x+\frac{1}{2!}\sin^{(2)}(0)\cdot x^2+\frac{1}{3!}\sin^{(3)}(0)\cdot x^3+\cdots\\ &=&\displaystyle0+1\cdot x-\frac{0}{2!} \cdot x^2-\frac{1}{3!}\cdot x^3+\frac{0}{4!} \cdot x^4+\cdots\\ &=&\displaystyle x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\end{array}\]
De sinusfunctie rond de oorsprong kan benaderd worden door de som van de eerste termen. De benadering wordt beter naarmate de orde toeneemt.
De Taylorveelterm van #f# rond #p# van orde #1# is de veelterm #P_1(x)# gegeven door \[P_1(x)=f(p)+f'(p)(x-p)\] Dit is het functievoorschrift van de welbekende raaklijn aan de graaf van #f# in #p#, ook bekend als de lineaire benadering van de functie #f# rond #p#.
Onderstaande tabel laat de Maclaurinreeksen van enkele bekende functies in #x# zien.
| #\phantom{rrr}#functie |
#\phantom{rrr}#Maclaurinreeks |
| #\phantom{rrr}x^n# #(n>0)# |
#\phantom{rrr}x^n# |
| #\phantom{rrr}\phantom{rrr}\dfrac{1}{1-x}# |
#\phantom{rrr}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty x^k# |
| #\phantom{rrr}\dfrac{1}{(1-x)^2}# |
#\phantom{rrr}\displaystyle\sum_{k=1}^\infty kx^{k-1}# |
| #\phantom{rrr}\sin(x)# |
#\phantom{rrr}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}# |
| #\phantom{rrr}\cos(x)# |
#\phantom{rrr}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}# |
| #\phantom{rrr}\ln(1+x)# |
#\phantom{rrr}\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}}{k}x^k # |
| #\phantom{rrr}\e^x# |
#\phantom{rrr}\displaystyle\sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{k!} #
|
Laat #f# een #(n+1)#-maal differentieerbare functie op een open interval rond #p# zijn met continue #(n+1)#-ste afgeleide. Met enige kennis van deze #(n+1)#-ste afgeleide van #f# kunnen we schatten hoe dicht de Taylorbenadering bij #f# komt.
Specifiek voldoet de Taylorreeks #P_n(x)# rond #p#, voor elke #x# in het interval rond #p# aan \[\left|f(x)-P_n(x)\right|\le\frac{1}{(n+1)!}\max_{|y-p|\le |x-p|}\left|f^{(n+1)}(y)(x-p)^{n+1}\right|\]
Als #f^{(n+1)}# begrensd is op het open interval, dan geeft de rechterkant van de ongelijkheid een bovengrens voor de afwijking #\left|f(x)-P_n(x)\right|# van de benadering.
Als bijvoorbeeld #f(x) = \sin(x)#, dan zijn alle hogere afgeleiden gelijk aan #\pm\cos# of #\pm\sin# en dus is #\left|f^{(n+1)}(y)\right|# ten hoogste #1#, zodat de afwijking van de benadering van #\sin(x)# door de Taylorveelterm van orde #n# rond de oorsprong ten hoogste #\dfrac{|x|^{n+1}}{(n+1)!}# is.
De Taylorveelterm #P_n(x)# is een benadering van de functie #f# in de buurt van #p#. Daarom spreken we ook wel van Taylorbenadering in plaats van Taylorveelterm.
We spreken van orde #n# in plaats van graad #n# omdat de graad van #P_n(x)# niet gelijk aan #n# hoeft zijn. De graad van #P_n(x)# is natuurlijk wel ten hoogste #n#.
Hieronder zijn de grafen te vinden van enkele welbekende functies #f# en een paar eerste Taylorbenaderingen ervan.
Bepaal de Taylorveelterm #P_{4}(x)# van orde #4# van de functie #f(x)={{1}\over{x}}# rond het punt #3#.
Geef je antwoord in de vorm \[a +b\cdot\left(x-3\right) +c\cdot\left(x-3\right)^2 +d\cdot\left(x-3\right)^3 +f\cdot\left(x-3\right)^4 \] waarbij #a ,b , c , d , f # constanten zijn.
#P_{4}(x)=# # {{1}\over{3}}-{{1}\over{9}} \cdot \left(x-3\right)+{{1}\over{27}} \cdot \left(x-3\right)^2-{{1}\over{81}} \cdot \left(x-3\right)^3+{{1}\over{243}} \cdot\left(x-3\right)^4#
De Taylorveelterm #P_{4}(x)# van orde #{4}# van #f# rond een punt #p# wordt per definitie gegeven door
\[P_{4}(x)=f(p) + f'(p)(x-p) +\frac{1}{2}f''(p)(x-p)^2 +\frac{1}{6}f'''(p)(x-p)^3 +\frac{1}{24}f^{(4)}(p)(x-p)^4 \]
Eerst bepalen we de benodigde afgeleiden:
\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle f(p)&=&\displaystyle {{1}\over{p}} \\ f'(p)&=&\displaystyle-{{1}\over{p^2}}\\ f''(p)&=&\displaystyle{{2}\over{p^3}}\\ f'''(p)&=&\displaystyle-{{6}\over{p^4}}\\ f^{(4)}(p)&=&\displaystyle{{24}\over{p^5}}\end{array}\]
Vervolgens substitueren we #p=3# in de afgeleiden:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle f \left( 3\right) &=&\displaystyle {{1}\over{3}} \\\displaystyle f'\left(3\right)&=&\displaystyle -{{1}\over{9}} \\ \displaystyle f''\left(3\right)&=&\displaystyle {{2}\over{27}} \\ \displaystyle f'''\left(3\right)&=&\displaystyle -{{2}\over{27}} \\\displaystyle f^{(4)}\left(3\right)&=&\displaystyle {{8}\over{81}} \end{array} \]
Ten slotte substitueren we #p=3# en de waarden van de afgeleiden in dit punt in de formule voor #P_{4}(x)#:
\[P_{4}(x)={{1}\over{3}}-{{1}\over{9}} \cdot \left(x-3\right)+{{1}\over{27}} \cdot \left(x-3\right)^2-{{1}\over{81}} \cdot \left(x-3\right)^3+{{1}\over{243}} \cdot\left(x-3\right)^4 \]
Taylorreeksen
