Meetkundige reeksen zijn speciale gevallen van machtreeksen. Zoals we later zullen zien, is de theorie van machtreeksen van belang om een differentieerbare functies in de buurt van een punt te benaderen door middel van een veelterm.
Een machtreeks is een reeks die de vorm \[ \displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k\] heeft, waarbij #x# en #p# reële getallen zijn en #a_0, a_1, a_2, \ldots# een reeks reële getallen is.
Het getal #p# heet het middelpunt van de machtreeks en #a_k# de #k#-de coëfficiënt.
Het convergentie-interval van een machtreeks is de verzameling van alle waarden #x# waarvoor de machtreeks convergeert.
De functie bepaald door een machtreeks is de reële functie #f# op het convergentie-interval van de machtreeks die aan elke #x# de waarde #f(x)# van de machtreeks in #x# toewijst.
De convergentiestraal van de machtreeks is het getal #r# met de eigenschap dat de reeks convergeert voor alle waarden van #x# in het open interval #\ivoo{p-r}{p+r}# en divergeert voor alle waarden van #x# buiten het gesloten interval #\ivcc{p-r}{p+r}#. In het geval dat de machtreeks overal convergeert, stellen we #r=\infty#.
Bekijk de meetkundige reeks
\[\sum_{n=0}^{\infty} {{\left(x-5\right)^{n}}\over{10^{n}}} \]
De convergentie-interval van de reeks is \(\ivoo{-5}{15}\). Om dit te laten zien zullen we het feit gebruiken dat de convergentiestraal van de meetkundige reeks # \sum_{n=0}^\infty c^n# gelijk is aan # 1#. Hiertoe schrijven we \[\sum_{n=0}^{\infty}{{\left(x-5\right)^{n}}\over{10^{n}}}= \sum_{n=0}^{\infty} \left({{x-5}\over{10}}\right)^n \] Gezien de stelling Oneindige meetkundige reeks formule, betekent dit dat de reeks meetkundig is en dat de rede van de reeks gelijk is aan #{{{x-5}\over{10}}}#. Bijgevolg is het convergentie-interval van de gegeven reeks bepaald door \[\left|{{{x-5}\over{10}}}\right|\lt 1\] Per definitie van absolute waarde is deze ongelijkheid equivalent met \[{{x-5}\over{10}}\gt -1\land {{x-5}\over{10}}\lt 1 \] wat herschreven kan worden als \[x\gt -5\land x\lt 15\]We concluderen dat het convergentie-interval \(\ivoo{-5}{15}\) is. Vanwege de oneindige meetkundig reeks formule vinden we dat op \(\ivoo{-5}{15}\), het convergentie-interval, het functievoorschrift van #f#gelijk is aan \[f(x) = \frac{1}{1-{{x-5}\over{10}}} ={{10}\over{15-x}}\]
De convergentiestraal #r# vertelt ons niet wat er gebeurt met de punten op afstand precies #r# tot het middelpunt. Bekijk bijvoorbeeld de reeks \[s(x) =x+\frac12 x^2+\frac13 x^3 + \cdots =\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}x^{k}\]
Hier is het middelpunt #0# en geldt #a_k = \frac{1}{k}# voor #k\ge1#. De waarde van deze reeks in het middelpunt is #a_0=0#.
In #x=1# wordt de reeks
\[\begin{array}{rcl}s(1) &=& \displaystyle 1+\frac12 +\frac13+\frac14 + \cdots \\&=&\displaystyle1+\frac12 +\left(\frac13 +\frac14\right)+\left( \frac15+\frac16 +\frac17+\frac18\right)+\cdots\\ &\ge&\displaystyle 1+\frac12 +2\cdot \frac14+4\cdot \frac18+8\cdot\frac{1}{16}+\cdots\\ &=&\displaystyle 1+\frac12+\frac12+\frac12+\cdots\end{array}\]
dus divergeert deze.
In #x=-1# wordt de reeks een som van de negatieve termen #\frac{-1}{2n\cdot(2n-1)}# die sneller naar #0# gaan dan #\frac{1}{n^2}#:
\[\begin{array}{rcl}s(-1) &=& \displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}(-1)^{k} \\&=&\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{1}{2n-1}(-1)^{2n-1}+\frac{1}{2n}(-1)^{2n}\right)\\ &=&\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{-1}{2n\cdot(2n-1)}\end{array}\]
Dit heeft tot gevolg dat #s(-1)# convergeert. Later, zullen we will zien dat de functie bepaald door de reeks gelijk is aan \(-\ln(1-x)\) en dus dat #s(-1) = -\ln(2)#.
De convergentiestraal van #s(x)# is #1#. Het voorbeeld laat zien dat er op afstand #1# van het middelpunt een punt (#x=1#) is waarin de reeks divergeert en een punt (#x=-1#) waarop de reeks convergeert.
Veronderstel dat er constanten #c# en #d# ongelijk aan nul zijn, zodat #a_k=c\cdot d^k# voor #k=0,1,2,\ldots#. Dan is de machtreeks een meetkundige reeks voor elke waarde van #x#. Inderdaad, geldt dan
\[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}c\cdot d^k (x-p)^k=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}c\cdot \left(d\cdot (x-p)\right)^k\]
zodat de rede gelijk is aan #d\cdot (x-p)#. In het bijzonder convergeert de reeks convergeert dan en slechts dan als #\left|d\cdot (x-p)\right|\lt 1#, zodat het convergentie-interval de verzameling van alle #x# is waarvoor #x\gt p-\frac{1}{|d|}# en #x\lt p+\frac{1}{|d|}#. Met andere woorden,
- het convergentie-interval is #\ivoo{p-\frac{1}{|d|}}{p+\frac{1}{|d|}}# en
- convergentiestraal is #\frac{1}{|d|}#.
Vanwege de oneindige meetkindige reeks formule is voldoet de functie #f# bepaald door de meetkundige machtreeks aan
\[ f(x) = \frac{1}{1-d\cdot (x-p)} =\frac{1}{p\cdot d +1-d\cdot x} \phantom{xxx}\text{ voor } \phantom{xxx} x\text{ in }\ivoo{p-\frac{1}{|d|}}{p+\frac{1}{|d|}}\]
Als #c=d=1# en #p=0#, komen we bij de meetkundige reeks \(\sum_{k=0}^{\infty}x^k\) uit. Substitutie van deze waarden voor #p# en #d# in het convergentie-interval geeft het resultaat terug dat deze meetkundige reeks convergeert als #x# in het open interval #\ivoo{-1}{1}# ligt, dat wil zeggen, dan en slechts dan als #|x|\lt1#.
De natuurlijke exponentiële functie \[\exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}x^k\] is gedefinieerd voor alle reële #x# en voldoet #\exp(x) = {\e}^x#.
Van de reeks in het functievoorschrift van #\exp# kan convergentie aangetoond worden voor alle #x#, zodat #\exp# de functie is bepaald door de machtreeks. Later, bij de behandeling van Taylorreeksen, zullen we zien hoe we, uitgaande van de bekende eigenschap dat de exponentiële functie gelijk is aan zijn afgeleide, deze reeks kunnen vinden.
In het middelpunt #p# is de waarde van de reeks #a_0#. Stel dat alle coëfficiënten #a_k# in een interval #\ivcc{-M}{M}# voor een of ander positief reëel getal #M#. We zeggen dan dat de rij #a_k# #(k=0,1,2,\ldots)# van coëfficiënten begrensd is. Kies een willekeurig klein getal #\varepsilon\in\ivoo{0}{\frac12}#. Voor alle #x# in het interval #\ivco{p-\varepsilon}{p+\varepsilon}# geldt
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k&=& a_0+a_1(x-p)+\sum_{k=2}^{\infty}a_k(x-b)^k \\ &\le&\displaystyle a_0+a_1\cdot(x-p)+\sum_{k=2}^{\infty}M\cdot \varepsilon^k \\ &=&\displaystyle a_0+a_1(x-p)+M\cdot \dfrac{\varepsilon^2}{1-\varepsilon}\\ &\le&\displaystyle a_0+a_1(x-p)+2M\cdot {\varepsilon^2}\end{array}\]en, net zo, \(\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k\ge a_0+a_1(x-b)-2M\cdot {\varepsilon^2}\).
Dit laat zien dat, als we #x# op afstand ten hoogste #\varepsilon# van het middelpunt kiezen en we bereid zijn om producten van #2M# met hogere machten van #\varepsilon# te verwaarlozen, we de functie bepaald door de reeks kunnen benaderen door de linearisatie #a_0+a_1(x-p)#. Een gelijksoortig argument is van kracht voor hogere machten van #x#.
De machtreeks #\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k# convergeert in #c# dan en slechts dan als de machtreeks #\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k# convergeert in #c-p#. Daarom kunnen we de studie van convergentie terugbrengen tot het geval waarin #p=0#.
De machtreeks #s(x) = \sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k# convergeert natuurlijk voor #x=0#. Stel dat de machtreeks #\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k# convergeert voor #x=c#, waarbij #c\ne0#. Dan kan bewezen worden dat #s(x)# convergeert voor alle #x# met #\abs{x}\lt \abs{c}#. Ook kan bewezen worden dat, als #s(x)# divergeert voor #x=c#, dan divergeert #s(x)# voor alle #x# met #\abs{x}\gt\abs{c}#. Dit verklaart het bestaan van een convergentiestraal, en het feit dat, als de convergentiestraal gelijk is aan #r#, het convergentie-interval van #s(x)# een van de intervallen #\ivoo{-r}{r}#, #\ivoc{-r}{r}#, #\ivco{-r}{r}#, #\ivcc{-r}{r}# is.
In het geval van de algemene machtreeks #\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k# en convergentiestraal #r#, is het convergentie-interval een van #\ivoo{p-r}{p+r}#, #\ivoc{p-r}{p+r}#, #\ivco{p-r}{p+r}#, #\ivcc{p-r}{p+r}#.
Als we de machtreeks die een functie #f# bepaalt eenmaal kennen, dan bepaalt de termsgewijze afgeleide van de machtreeks de functie #f'# en de termsgewijze primitieve van de reeks een primitieve van #f#. Ook sommen en producten van machtreeksen gedragen zich goed.
Laat #f# de functie zijn bepaald door de machtreeks \[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k(x-p)^k\]waarbij #x# en #p# reële getallen zijn en #a_0, a_1, a_2, \ldots# een rij reële getallen is. Stel dat #r# een positief getal is (mogelijk oneindig) dat kleiner dan of gelijk aan de convergentiestraal is.
- De machtreeks \( \sum_{k=1}^{\infty}k\cdot a_k(x-p)^{k-1}\) convergeert op #\ivoo{p-r}{p+r}# en bepaalt de functie #f'# op dit interval.
- De machtreeks \( \sum_{k=0}^{\infty}\frac{ a_k}{k+1}(x-p)^{k+1}\) convergeert op #\ivoo{p-r}{p+r}# en bepaalt de primitieve van de functie #f# op dit interval waarvan de waarde in #p# gelijk is aan #0#.
Stel dat bovendien #g# de functie is bepaald door de machtreeks\[\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}b_k(x-p)^k\]waarbij #p# is als hierboven, #x# een reëel getal is en #b_0, b_1, b_2, \ldots# een rij reële getallen is. Stel verder dat de convergentiestraal ervan ten minste #r# is.
- De machtreeks verkregen door de som van de bij #f# en #g# horende machtreeksen te nemen, convergeert op #\ivoo{p-r}{p+r}# en bepaalt de functie #f+ g#. De #k#-de coëfficiënt is \[ a_k + b_k\]
- De machtreeks verkregen door het product van de bij #f# en #g# horende machtreeksen te nemen, converges on #\ivoo{p-r}{p+r}# en bepaalt de functie #f\cdot g#. De #k#-de coëfficiënt is \[\sum_{j=0}^k a_j\cdot b_{k-j}\]
De eerste uitspraak betekent dat de termen van de machtreeks die de afgeleide van een functie #f# bepaalt, de afgeleide zijn van de termen van de machtreeks die #f# bepaalt.
De tweede uitspraak betekent dat de termen van de machtreeks die de primitieve van een functie #f# bepaalt, de primitieve zijn van de termen van de machtreeks die #f# bepaalt.
De derde uitspraak betekent dat de som is van de machtreeksen met hetzelfde middelpunt die #f# en #g# bepalen een machtreeks is die #f+g# bepaalt.
De vierde uitspraak betekent dat het product van de machtreeksen met hetzelfde middelpunt die #f# en #g# bepalen een machtreeks is die #f\cdot g# bepaalt.
Bekijk de functie #\frac{1}{x}#. Deze kan geschreven worden als #\frac{1}{1-(1-x)}#, die, dankzij de oneindige meetkundige reeks formule, de waarde van de meetkundig reeks \[\sum_{k=0}^\infty { (1-x)^k} \] is voor #\abs{x-1}\lt 1#, dat wil zeggen: #x\in\ivoo{0}{2}#. Aangezien #\ln(x)# de primitieve van #\frac{1}{x}# is waarvan de waarde in #1# gelijk is aan #0#, geeft de stelling
\[\ln (x)= \sum_{k=0}^{\infty}\frac{ -1}{k+1}(1-x)^{k+1}\phantom{xxx}\text{ voor } \phantom{xxx}x\in\ivoo{0}{2}\]
Door #x# te vervangen door #1-x# en #k# door #k-1#, kunnen we deze formule schrijven als
\[\ln (1-x)=- \sum_{k=1}^{\infty}\frac{ 1}{k}x^{k}\phantom{xxx}\text{ voor } \phantom{xxx}x\in\ivoo{-1}{1}\]Eerder zagen we dat deze reeks convergeert voor #x=-1# en divergeert voor #x=1#. De divergentie is in overeenstemming met onze kennis van het domein van #\ln#, dat #\ivoo{0}{\infty}# is.
Zoals we later zullen zien, wordt de goniometrische functie \(sin\) bepaald door de volgende machtreeks, die overal convergeert.
\[\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}\]
Door beide zijden van de vergelijking te differentiëren, vinden we
\[\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(2k+1)}{(2k+1)!}x^{2k} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}x^{2k}\]
De theorie van machtreeksen en meetkundige reeksen kan gebruikt worden om een grotere variëteit van reeksen te bestuderen door gebruik te maken van een samenstelling met een andere functie. In de voorbeelden hieronder, zullen we werken met functies als #x^2# en #\sqrt{x}# om #x# in een machtreeks hierdoor te vervangen.
Bekijk de reeks
\[\sum_{n=0}^{\infty} {{\left(x-2\right)^{n}}\over{3^{n}}} \]
Vind het convergentie-interval van de reeks en bepaal de som van de reeks als een functie van #x# op dit interval.
Het convergentie-interval is \(\ivoo{-1}{5}\)
De functie #f# bepaald door de reeks op dit interval heeft functievoorschrift \(f(x) ={{3}\over{5-x}}\).
We zullen gebruik maken van het feit dat de convergentiestraal van de meetkundige reeks # \sum_{n=0}^\infty x^n# gelijk is aan #1#. Daartoe schrijven we
\[\sum_{n=0}^{\infty} {{\left(x-2\right)^{n}}\over{3^{n}}}= \sum_{n=0}^{\infty} \left( {{x-2}\over{3}}\right)^n \]
Hieruit blijkt dat de serie
meetkundig is en dat de rede van de reeks gelijk is aan #{{{x-2}\over{3}}}#. Dientengevolge wordt het convergentie-interval van de gegeven serie bepaald door
\[\left|{{{x-2}\over{3}}}\right|\lt 1\]
Vanwege de definitie van de absolute waarde is deze ongelijkheid equivalent met \[ {{x-2}\over{3}}\gt -1\land {{x-2}\over{3}}\lt 1\] wat geschreven kan worden als \[x\gt -1\land x\lt 5 \]
Met behulp van de
oneindige meetkundige reeks formule vinden we dat op \(\ivoo{-1}{5}\), het convergentie-interval, het functievoorschrift van #f# gegeven wordt door \[f(x) = \frac{1}{1-{{x-2}\over{3}}} = {{3}\over{5-x}}\]
In de onderstaande figuur zijn de grafieken van de functie #f(x) = {{3}\over{5-x}} # (rood) en de som #\sum_{k=0}^3\left( {{x-2}\over{3}}\right)^k# van de eerste vier termen van de reeks (blauw) getekend. Het illustreert dat het beginstuk van de reeks de functie #f# goed benadert in de buurt van het punt # x = 2 #.
Machtreeksen
