Convergentie voor een rij #a_k# #(k=1,2,3,\ldots)# is het verschijnsel dat de termen #a_k# steeds dichter in de buurt bij een getal #\alpha# komen als #k# groter wordt. Het getal #\alpha# is de limiet waarnaar de rij convergeert. We zullen hier convergentie voor meetkundige reeksen bespreken.
Een meetkundige rij heeft de vorm #a_k=d\cdot c^{k-1}#, waarbij #k=1,2,\ldots# en #c#, #d\in\mathbb{R}#.
Hier #c# wordt de gemeenschappelijke verhouding van de rij.
De eerste term van de rij is #d#. De eerste vier termen zijn \[d,\ d\cdot c,\ d\cdot c^2,\ d\cdot c^3\]
Als we alleen kijken naar de eerste #n# termen voor een natuurlijk getal #n#, dan noemen we de reeks eindig. Om onderscheid te maken met het eindige geval noemen wij bovenstaande meetkundige rij ook wel oneindig.
De rij #a_k = 6\cdot \frac{1}{3^k}# #(k=1,2,\ldots)# begint als volgt.
\[2,\frac{2}{3},\ \frac{2}{9},\ \frac{2}{27},\ \frac{2}{81},\ \frac{2}{243},\ldots\]
Deze rij is meetkundig omdat, voor elke #k#, het quotiënt #\dfrac{a_{k+1}}{a_k}# gelijk is aan #\frac{1}{3}#, de rede van de rij. Inderdaad kan de rij geschreven worden in de vereiste vorm voor een meetkundige rij:
\[a_k = 2\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{k-1}\]
De rij #a_k = 3\cdot \frac{k^2}{k!}# #(k=1,2,\ldots)# begint als volgt.
\[3,\ 6,\ \frac{9}{2},\ 2,\ \frac{5}{8},\ \frac{3}{20},\ \ldots\]
Deze rij is niet meetkundig aangezien het quotiënt #\dfrac{a_{k+1}}{a_k}# varieert voor verschillende #k#.
Een rij die opgebouwd is door de beginstukken #a_1,\ldots,a_n# voor toenemende #n# van een gegeven rij #a_k# #(k=1,2,\ldots)# op te tellen, wordt een reeks of, specifieker, de reeks van de rij #a_k# #(k=1,2,\ldots)# genoemd. De reeks #b_n# #(n=1,2,\ldots)# van #a_k# #(k=1,2,\ldots)# wordt dus bepaald door \[ b_n=\sum_{k=1}^na_k\]
We zijn vaak geïnteresseerd in het bestaan en, als dat het geval is, de waarde van de limiet van de reeks #b_n# #(n=1,2,\ldots)# voor #n\to\infty#. Daarom wordt de reeks vaak weergegeven als de oneindige som van de termen van de rij #a_k# #(k=1,2,\ldots)#:
\[\lim_{n\to\infty}b_n =\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^{\infty}a_k\]
We concentreren ons hier op de reeksen van meetkundige rijen.
Een meetkundige reeks is de reeks van een meetkundige rij #a_k=d\cdot c^{k-1}#. De meetkundige reeks #b_n# #(n=1,2,\ldots)# met betrekking tot #a_k# #(k=1,2,\ldots)# wordt dus gegeven door \[ b_n=\sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^nd\cdot c^{k-1}=d\sum_{k=1}^nc^{k-1}\]
Ook hier wordt #c# de rede van de reeks genoemd.
De reeks begint bij #k=1# en de eerste vier termen zijn \[d,\ d+d\cdot c,\ d+d\cdot c+d\cdot c^2,\ d+d\cdot c+d\cdot c^2+d\cdot c^3\]
De meetkundige rij #a_k = 6\cdot \frac{1}{3^k}={ 2}\cdot \frac{1}{3^{k-1}}# #(k=1,2,\ldots)# begint als volgt.
\[2,\frac{2}{3},\ \frac{2}{9},\ \frac{2}{27},\ \frac{2}{81},\ \frac{2}{243},\ldots\]
De bijbehorende reeks begint als volgt.
\[{2},\ \frac{8}{3},\ \frac{26}{9},\ \frac{80}{27},\ \frac{242}{81},\ \frac{728}{243},\ldots\]
In plaats van sommatie over #n# termen te nemen kunnen we de #n#-de term van de meetkundige reeks rechtstreeks berekenen met behulp van een eenvoudige formule.
Voor #c\ne1#geldt \[\sum_{k=1}^nc^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-1}c^k=\frac{c^n-1}{c-1}\]
We bewijzen deze formule met behulp van inductie naar #n#. We moeten de volgende formule bewijzen. \[\sum_{k=0}^{n-1}c^k=\dfrac{c^n-1}{c-1}\] Als #n=1#, dan is de linkerkant #c^0 = 1# en de rechterkant #\dfrac{c^1-1}{c-1} = 1#. Omdat beide zijden gelijk zijn, is de formule correct voor #n=1#.
Nu laten we #n\ge1# en gaan ervan uit dat de formule juist voor is #n#. Voor #n+1# geldt dan
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle\sum_{k=0}^{n}c^k&=&\displaystyle\left(\sum_{k=0}^{n-1}c^k\right) + c^n\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{laatste term buiten sommatie gehaald}}\\&=&\displaystyle \left(\dfrac{c^n-1}{c-1}\right)+ c^n\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{inductiehypothese}}\\&=&\displaystyle\dfrac{c^n-1+c^n(c-1)}{c-1}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{uitdrukkingen onder één noemer gebracht}}\\&=&\displaystyle \dfrac{c^n-1+c^{n+1}-c^n}{c-1}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{haakjes weggehaald uit de teller}}\\&=&\displaystyle \dfrac{c^{n+1}-1}{c-1}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{teller vereenvoudigd}}\\\end{array}\]
Hiermee hebben we de formule voor #n+1# afgeleid. Zo hebben we met behulp van inductie naar #n# vastgesteld dat de formule geldt voor alle #n\ge1#.
Met gebruik van #3^6 = 729# en de eindige meetkundige rij formule kunnen we de som avn de eerste zes termen van de meetkundige rij d#6\cdot \frac{1}{3^k}# #(k=1,2,\ldots)# als volgt berekenen.
\[2+\frac{2}{3}+ \frac{2}{9}+ \frac{2}{27}+ \frac{2}{81}+ \frac{2}{243}=6\sum_{k=1}^6 \frac{1}{3^{k}}=2\sum_{k=0}^5 \frac{1}{3^{k}} = 2\cdot\dfrac{\left(\frac{1}{3}\right)^6-1}{\frac{1}{3}-1}=\frac{728}{243} \]
De formule kan worden gebruikt om de convergentie van de oneindige meetkundige reeks bepalen.
Als #|c|\lt 1#, dan convergeert de meetkundige reeks #1+c+c^2+\cdots\ # naar \[\sum_{k=0}^\infty c^k=\dfrac{1}{1-c}\]
Als #|c|\ge1#, dan is de reeks divergent.
Het idee achter het bewijs is als volgt. Als #|c|\lt 1#, dan nemen we de limiet van de uitdrukking voor beginstukken van de reeks gegeven door
eindige meetkundige reeks formule om convergentie te bewijzen en bepalen we de limiet. Als de termen #c^n# niet naar #0# gaan wanneer #n# naar #\infty# gaat, dan moet de reeks wel divergeren. Dit is het geval als #|c|\ge 1#.
De eindige geometrische reeks formule geeft #\sum_{k=0}^{n-1}c^k = \dfrac{c^{n}-1}{c-1}# voor #c\ne1#. Aangezien #\lim_{n\to\infty}c^n = 0# voor #|c|\lt 1#, afleiden we hieruit het volgende af \[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=0}^\infty c^k&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}c^k\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van oneindige som}}\\&=&\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{c^n-1}{c-1}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eindige meetkundige reeks formule}}\\&=&\displaystyle \frac{\left({\lim_{n\to\infty}c^n }\right)-1}{c-1}\\ && \phantom{xxx} \color{blue}{\text{continuïteit van de functie } {(x-1)}/{(c-1)} \text{ van } x}\\ &=&\displaystyle \frac{0-1}{c-1}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\lim_{n\to\infty}c^n = 0}\\&=&\displaystyle \frac{1}{1-c}\end{array}\]
Stel nu dat #|c|\ge 1#. Neem aan dat de reeks convergeert naar een reëel getal #\lambda#. Dan bestaat er een natuurlijk getal #N# zodanig dat voor alle #n\gt N#, geldt \[ \left|\lambda - \sum_{j=0}^n c^j\right| \lt \frac12\] Omdat#|c|\ge 1#, geldt #|c|^n\ge1# voor alle #n#. We concluderen dat, voor elke #k\gt N#,
\[\begin{array}{rcl}\dfrac12&\gt&\displaystyle \left|\lambda -\sum_{j=0}^{k+1} c^j\right|\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{bovenstaande ongelijkheid is toepasbaar omdat }k+1\gt N}\\&\gt&\displaystyle \left|\left(\lambda -\sum_{j=0}^{k} c^j\right)-c^{k+1}\right|\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{term }c^{k+1}\text{ apart gezet}}\\&\ge&\displaystyle\left|c^{k+1} \right|-\left|\lambda -\sum_{j=0}^{k} c^j\right|\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{driehoeksongelijkheid }\abs{a-b}\ge \abs{b}-\abs{a}}\\&\gt& 1-\frac12 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{|c|\ge 1\text{; bovenstaande ongelijkheid is toepasbaar omdat }k\gt N}\\&=& \displaystyle\dfrac12\end{array}\]
We hebben afgeleid dat \(\frac12\gt \frac12\). Uit deze tegenspraak blijkt dat er geen reëel getal #\lambda# is waarnaar de reeks convergeert. We concluderen dat de reeks divergeert voor #|c|\ge1#.
Toepassing van de oneindige meetkundige reeks formule op de reeks van de meetkundige rij #6\cdot \frac{1}{3^k}# #(k=1,2,\ldots)# gives
\[\sum_{k=1}^\infty6\cdot \frac{1}{3^k}=2\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{3^{k}} = 2\cdot\dfrac{1}{1-\frac{1}{3}}= {3} \]
Hierboven zagen we dat de som van eerste zes termen gelijk is aan #\frac{728}{243}#, wat van de limiet #{3}# precies #\frac{1}{243}# verschilt. Voor algemene #n# is de grootte van het verschil tussen de limiet en de som van de eerste #n# termen van de rij gelijk aan \[\left|\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}\right| = \frac{1}{3^{n-1}}\]
De grafiek van de functie # \green{\frac{1}{1-c}}# van #c# wordt hieronder weergegeven, evenals de eindige geometrische reeks #\blue{1+c+c^2+\cdots +c^n}# voor verschillende waarden van #n#.
Bereken de som #\sum_{k=0}^{5}2^k#.
#\sum_{k=0}^{5}2^k=# #63#
Als #c\neq1#, dan geldt #\sum_{k=0}^{n-1}c^k=\frac{c^n-1}{c-1}#. Invullen van #n=6# en #c=2# levert\[\sum_{k=0}^{5}2^k=\frac{2^{6}-1}{2-1}=63\tiny.\]
Meetkundige reeksen
