Een belangrijk onderdeel in het bewijs van de stelling van Dirichlet voor convergentie van Fourier-reeksen en andere uitspraken met betrekking tot goniometrische integralen is het volgende lemma.
Als #f# stuksgewijs continu is op een gesloten interval #\ivcc{a}{b}# voor zekere #a,b \in \mathbb{R}# met #a\lt b#, dan geldt
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}{ \int_{a}^{b}} f(t)\sin(\alpha t) \dd t&=&0 \\\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}{ \int_{a}^{b}} f(t)\cos(\alpha t) \dd t &=&0 \end{array}\]
We bewijzen de eerste gelijkheid in het speciale geval waarin #f# stuksgewijs glad is. Dit bewijs is kort. Het zal gebruikt worden in het bewijs voor het algemene geval. We kunnen aannemen dat #f# en #f'# continu zijn op \(\ivcc{a}{b}\), aangezien het stuksgewijs continue geval dan volgt door eindig veel toepassingen van de uitspraak voor het gladde geval, één keer voor elk interval (waarop #f# glad is) tussen twee opeenvolgende discontinuïteit-sprongen.
Partiële integratie geeft dat, voor elk reëel getal #\alpha\gt0#,
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{a}^{b} f(t) \sin(\alpha t) \dd t &=& \displaystyle \left[-\,\frac{f(t)\cos(\alpha t)}{\alpha}\right]_a^b+\frac{1}{\alpha}\int_{a}^{b} f'(t) \cos(\alpha t) \dd t\\&=& \displaystyle \frac{f(a)\cos(\alpha a)-f(b)\cos(\alpha b)}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}\int_{a}^{b} f'(t) \cos(\alpha t) \dd t\end{array}\]
Volgens de Min-Max stelling hebben de functies #f# en #f'# globale minima en maxima op #\ivcc{a}{b}#. In het bijzonder is er een positief getal #M# zó dat #|f(t)|\le M# en #|f'(t)|\le M# voor #t\in \ivcc{a}{b}#. Als gevolg daarvan vinden we, met behulp van Afschattingen van integralen,
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle\left| \int_{a}^{b}{ f(t) \sin(\alpha t)} \dd t \right|&\le& \displaystyle \frac{\left|f(a)\cos(\alpha a)-f(b)\cos(\alpha b)\right|}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}\left|\int_{a}^{b}{ f'(t) \cos(\alpha t)} \dd t \right| \\ &\le& \displaystyle \frac{2M}{\alpha}+\frac{1}{\alpha}\int_{a}^{b}\left| f'(t) \right|\dd t \\ &\le& \displaystyle \frac{2M}{\alpha}+\frac{M\cdot |b-a|}{\alpha} \\ \displaystyle&=& \displaystyle \frac{M\cdot(2+|b-a|)}{\alpha} \end{array}\]
We concluderen dat
\[\lim_{\alpha \rightarrow \infty}{\left|\int_{a}^{b}f(t)\sin(\alpha t) \dd t\right|} =0\]
Hieruit volgt direct dat \( \lim_{\alpha \rightarrow \infty} {\int_{a}^{b} f(t)\sin(\alpha t) }\dd t=0\). Dit bewijst de eerste gelijkheid.
Het bewijs van de tweede gelijkheid wordt weggelaten, omdat het zeer vergelijkbaar is met het bovenstaande.
Net als in het speciale geval, en om dezelfde reden, richten we ons alleen op de eerste limiet. Laat #\varepsilon\gt0# (een willekeurig klein positief getal). We moeten laten zien dat er een getal #A# is zodanig dat voor alle #\alpha\gt A#, geldt \[\left|{ \int_{a}^{b}} f(t)\sin(\alpha t) \dd t\right|\lt\varepsilon\]
Het feit dat #f# stuksgewijs continu is op #\ivcc{a}{b}# impliceert dat de Riemann-integraal van #f# op #\ivcc{a}{b}# bestaat. In het bijzonder is er een partitie \[a = x_0,x_1,\ldots,x_{n-1},x_n=b\] van het interval #x_i\lt x_{i+1}# voor #i=0,\ldots,n-1# zodanig dat, met #m_i# het minimum van #f# op #\ivcc{x_i}{x_{i+1}}# en #M_i# het maximum van #f# op #\ivcc{x_i}{x_{i+1}}#, geldt
\[\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)(M_i-m_i)\lt \frac{\varepsilon}{2}\] De keuze \( \frac{\varepsilon}{2}\) in plaats van \(\varepsilon\) is toegestaan omdat we beginnen met een willekeurig positief getal, dat we \( \frac{\varepsilon}{2}\) kunnen laten zijn. De feitelijke integraal van #f# op #\ivcc{a}{b}# ligt tussen de sommen waarin de ondergrenzen #m_i# en bovengrenzen #M_i# optreden. Aldus geldt
\[\left|\int_a^b f(x)\dd x- \sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)\cdot m_i\right|\lt \frac{\varepsilon}{2}\]
De som \(\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)\cdot m_i\) kan worden beschouwd als de integraal #\int_a^b m(x)\dd x# van de stuksgewijs constante functie #m# met functievoorschrift
\[m(x) = m_i\text{ if } x_i\le x\le x_{i+1} \text{ for } i=0,\ldots,n-1\] Gezien het feit dat #f(x)\ge m(x)# voor alle #x# in #\ivcc{a}{b}#, kunnen we de bovenstaande ongelijkheid herschrijven in termen van de functie #m#:
\[\int_a^b\left( f(x)- m(x)\right)\dd x\lt \frac{\varepsilon}{2}\]
De integraal van #f# kan dus worden benaderd door de integraal van de stuksgewijs constante functie #m#.
Dankzij het bewijs van het bijzondere geval geldt de stelling voor #m#. Dit betekent dat er een getal #A# is, zodanig dat voor alle #\alpha\gt A# geldt
\[\left|\int_a^b m(x)\sin(\alpha x) \dd x\right|\lt\frac{\varepsilon}{2}\]
Als gevolg hiervan geldt, dankzij Afschattingen van integralen, de volgende keten van (on)gelijkheden voor alle #\alpha\gt A#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\int_a^b f(x)\sin(\alpha x)\dd x\right| &=&\displaystyle\left| \int_a^b \left(f(x)-m(x)\right) \sin(\alpha x) \dd x+ \int_a^b m(x)\sin(\alpha x) \dd x\right|\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{lineariteit van de integraal}}\\&\le&\displaystyle\left| \int_a^b \left(f(x)-m(x)\right) \sin(\alpha x) \dd x\right|+ \left|\int_a^b m(x)\sin(\alpha x) \dd x\right| \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{|y+z|\le |y|+|z|}\\&\le&\displaystyle \int_a^b \left|f(x)-m(x)\right| \dd x+ \left|\int_a^b m(x)\sin(\alpha x) \dd x\right| \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\left|\int_a^b g(x)\dd x\right|\le\int_a^b\left| g(x)\right|\dd x\text{ and }|\sin(u)| \le 1}\\&\lt&\displaystyle\frac{\varepsilon}{2}+ \frac{\varepsilon}{2}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{twee hierboven afgeleide ongelijkheden}}\\&=&\varepsilon \end{array}\]
Hiermee eindigt het bewijs van de stelling.
We herinneren eraan dat een functie op een interval Riemann integreerbaar heet als het Riemann-integraal op dat interval bestaat. Alle stuksgewijs continue functies zijn Riemann-integreerbaar.
De stelling is ook geldig voor Riemann-integreerbare functies. Er bestaan functies die Riemann-integreerbaar zijn maar niet continu op een oneindig aantal punten, maar we zullen ons niet bezighouden met dergelijke functies. Daarom wordt de stelling alleen geformuleerd voor stuksgewijs continue functies.
Gebruik het Riemann-Lebesgue lemma om de waarde te bepalen van de integraal
#\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}\int_0^{\pi} t^2 \sin(\alpha t + 49) \,\dd t #
Voer "geen" in als het lemma niet kan worden toegepast.
#\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}\int_0^{\pi} t^2 \sin(\alpha t + 49) \,\dd t # = #0#
Met gebruik van de additieformule voor de sinus, kan de integraal worden geschreven als een lineaire combinatie van twee integralen van het type waarop het lemma van toepassing is. \[\begin{array}{rcl} \int_0^{\pi} t^2 \sin(\alpha t + 49) \dd t &=&\displaystyle \sin(49)\int_0^{\pi} t^2\cos(\alpha t) \dd t + \cos(49)\int_0^{\pi} t^2\sin(\alpha t)\, \dd t\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y) + \cos(x)\sin(y)} \\ &=& 0 +0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Riemann-Lebesgue lemma tweemaal toegepast}}\\ &=& 0\end{array}\] Bijgevolg geldt #\displaystyle \lim_{\alpha \rightarrow \infty}\int_0^{\pi} t^2 \sin(\alpha t + 49) \dd t=0 #.
Het Riemann-Lebesgue lemma
