We beginnen met de bekende formule vorr een meetkundige reeks om de volgende formule af te leiden voor de som van machten van een getal #a\ne1# met exponenten variërend van #k=-n# tot #k=n#:

\[\begin{array}{c}\displaystyle \sum_{k=-n}^{n} a^{k} = \frac{a^{-n-\frac12}-a^{n+\frac12}}{a^{-\frac12}-a^{\frac12}} \end{array}\]

Inderdaad geldt

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \sum_{k=-n}^{n} a^{k} &=&\displaystyle a^{-n} \cdot \frac{1-a^{2n+1}}{1-a} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{formule voor meetkundige reeks}}\\&=&\displaystyle \frac{a^{-n-\frac12}}{a^{-\frac12}} \cdot \frac{1-a^{2n+1}}{1-a}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{teller en noemer worden beide vermenigvuldigd met }a^{-\frac12}}\\ &=&\displaystyle \frac{a^{-n-\frac12}-a^{n+\frac12}}{a^{-\frac12}-a^{\frac12}}\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{svereenvoudigd}}\end{array}\]

Dankzij de formule van De Moivre geldt #(\cos(x) + \ii\sin(x))^n =\cos(nx) + \ii\sin(nx)=\ee^{n\ii x}#. Aangezien #\sin# oneven is en #\cos# even, vinden we, voor #x# zodanig dat #\ee^{x\ii}\ne1#,

\[\begin{array}{rcl} D_n(x) &=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) \right)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }D_n}\\ &=&\displaystyle \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-n}^{n} (\cos(kx) +\ii\sin(kx))\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\cos\text{ is even en }\sin\text{ is oneven}}\\&=&\displaystyle \frac{1}{2\pi} \sum_{k=-n}^{n} \ee^{kx\ii} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ formule van De Moivre}}\\&=&\displaystyle\frac{1}{2\pi}\frac{\ee^{-(n+\frac12)\ii x}-\ee^{(n+\frac12)\ii x}}{\ee^{-\ii \frac{x}{2}}-\ee^{\ii \frac{x}{2}}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ bovenstaande versie van de formule voor een meetkundige reeks met }a = \ee^{\ii x}}\\&=&\displaystyle\frac{1}{2\pi}\frac{-2\ii\sin((n+\frac12)x)}{-2\ii\sin(\frac{x}{2})} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\ee^{x\ii}-\ee^{-x\ii} = 2\ii\sin(x)}\\ &=&\displaystyle\frac{1}{2\pi}\frac{\sin((n+\frac12)x)}{\sin(\frac{x}{2})} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{ vereenvoudigd}}\\ \end{array}\]

Aangezien #\ee^{x\ii}\ne1# dan en slechts dan als #x# geen geheel veelvoud van #2\pi# is, impliceert dit de formule voor #D_n(x)#.

We gaan door met het berekenen van de eerste integraal waar #D_n# in voorkomt:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_{-\pi}^0 D_n(x)\,\dd x & =& \displaystyle\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^0 \dd x +\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^{n} \int_{-\pi}^0\cos(kx)\dd x\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }D_n}\\ & =& \displaystyle\frac{1}{2\pi} \left[x\right]_{x=-\pi}^{x=0} +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\pi}\left[\sin(kx)\right]_{x=-\pi}^{x=0}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{primitieve bepaald}}\\& =& \displaystyle\frac{1}{2\pi} \pi +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k\pi}\cdot 0\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{grenswaarden van de primitieve berekend}}\\& =& \displaystyle\frac{1}{2}\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudifd}}\\ \end{array}\]

Aangezien #D_n# een even functie is, heeft de tweede bepaalde integraal dezelfde waarde. Hiermee is het bewijs van de stelling geleverd.

In het vervolg kunnen we #L = \pi# kiezen zonder verlies van algemeenheid, aangezien de eigenschappen die we gebruiken alleen afhangen van het feit dat het integratie-interval symmetrisch is.

Bekijk de goniometrische reeks

\[\displaystyle s_n(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{k=1}^n\left(a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)\right)\]

waarbij #a_0#, #a_1,\ldots,a_n#, #b_1,\ldots,b_n# worden gegeven door de Euler-formules voor #f#.

We zullen laten zien dat \(\lim_{n\to\infty}s_n \) bestaat en een Fourier-reeks van #f# is. Met behulp van de Euler-formules kunnen we schrijven

\[ s_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi}f(y)\, \left(\frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n}\left( \cos(kx)\cos(ky) + \sin(kx)\sin(ky)\right)\right) \dd y \]

Van de Dirichlet kern weten we dat de functie #D_n# wordt gedefinieerd door

\[\begin{array}{c}\displaystyle D_n(x) = \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx) \right) \end{array}\]

Toepassen van de additieformule voor de cosinus op een verschil geeft

\[\begin{array}{c}D_n(x-y) = \displaystyle \frac{1}{\pi} \left( \frac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n} \cos(kx)\cos(ky) + \sin(kx)\sin(ky) \right) \end{array}\]

We gebruiken deze identiteit om #s_n(x)# te herschrijven.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle s_n(x) &=&\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(y)D_n(x-y) \dd y \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{gebruik van de identiteit voor }D_n(x-y) \text{ geeft bovenstaande uitdrukking voor }s_n(x)} \\ & =&\displaystyle \int_{-\pi+x}^{\pi+x} f(x+z)D_n(z) \dd z \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{overgang op de variabele}y = x+z\text{ aangezien }D_n\text{ even is}}\\& =&\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}f(x+z) D_n(z) \dd z \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{f(x+z) D_n(z)\text{ is periodiek in }{z}\text{ met periode }2\pi}\end{array}\]

We gebruiken de eigenschappen van de Dirichlet kern om door te gaan met het herschrijven #s_n(x)#.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle s_n(x) &=& \displaystyle\int_{-\pi}^{0} f(x+z)D_n(z)\dd z + \int_{0}^{\pi} f(x+z)D_n(z)\dd z \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eigenschap van bepaalde integralen}}\\ &=& \displaystyle\int_{-\pi}^{0} \left(f(x+z)-f_-(x)\right)D_n(x) \dd z +\frac{1}{2}f_-(x) \\ &&\,+ \displaystyle\int_{0}^{\pi} \left(f(x+z)-f_+(x)\right)D_n(x)\dd z +\frac{1}{2}f_+(x) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\int_{-\pi}^0D_n(x)\,\dd x=\frac{1}{2}= \int_{0}^{\pi}D_n(x)}\\ &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{0} \left(f(x+z)-f_-(x)\right) \frac{\sin((n+\frac12)z)}{\sin(\frac{z}{2})} \dd z +\frac{1}{2}f_-(x) \\ &&\,+ \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi} \left(f(x+z)-f_+(x)\right)\frac{\sin((n+\frac12)z)}{\sin(\frac{z}{2})} \dd z +\frac{1}{2}f_+(x) \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{D_n(z) =\frac{1}{2\pi} \frac{\sin(((n+\frac12)z)}{\sin(\frac{z}{2})} \text{ for } z \neq 2k\pi }\\ &=& \displaystyle\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\left(g_{L}(z)+g_{R}(z)\right)\sin((n+\frac12)z) \dd z + \frac{f_-(x) +f_+(x)}{2}\end{array}\]

waar

\[\begin{array}{c}\displaystyle g_{L}(y) = \frac{f(x-y)-f_-(x)}{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}\phantom{xxx}\text{ and }\phantom{xxx}\displaystyle g_{R}(y) = \frac{f(x+y)-f_+(x)}{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}\end{array}\]

We zullen het bewijs eindigen door te bepalen dat de eerste term van de gevonden uitdrukking voor #s_n(x)# gelijk is aan nul. Beide functies #g_L# en #g_R# zijn stuksgewijs continu op #\ivcc{0}{\pi}#. Bijvoorbeeld, #g_{R}# is het quotiënt van de stuksgewijs continue functie #f(x+y)-f_+(x)# van #y# naar de continue functie #\sin\left(\frac{y}{2}\right)# die alleen de waarde nul aanneemt in #0#. Maar deze functie gedraagt zich ook goed rond #0#. Voordat we dit bewijzen, moeten we eerst de limiet analyseren van #\frac{f(x+y)-f_+(x)}{y}# voor #y\downarrow0#.

Vanwege de aanname dat #f# stuksgewijs glad is, bestaat de rechter limiet #f'_+(x)=(f')_+(x)# van #f'(x+y)# voor #y\downarrow0#. We beweren dat

\[\lim_{y\downarrow0}\frac{f(x+y)-f_+(x)}{y} = f'_+(x)\]

Laat, om dit in te zien, #\varepsilon\gt0#. Dankzij de definitie van rechter limiet voor #f'# in #x#, is er een getal #\delta\gt0# zodanig dat #f# continu is op #\ivoo{0}{\delta}# en zodanig dat voor alle #y\in\ivoo{0}{\delta}# geldt #\left|f'(x+y)-f'_+(x)\right|\lt \varepsilon#. Laat nu #y\in\ivoo{0}{\delta}#. Vanwege de Middelwaardestelling is er een getal #\eta\in\ivoo{0}{1}#, zodat

\[\frac{f(x+y)-f_+(x)}{y}= f'(x+\eta \cdot y)\] Bijgevolg geldt

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \left|\dfrac{f(x+y)-f_+(x)}{y}-f'_+(x)\right|&=& \displaystyle \left|f'(x+\eta \cdot y)-f'_+(x)\right | \lt \varepsilon\end{array}\] wat de bewering bewijst. Met deze bewering vinden we

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \lim_{y \downarrow 0} g_{R}(y) &=& \displaystyle\lim_{y \downarrow 0} \frac{f(x+y)-f_+(x)}{\sin(\frac{y}{2})} \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{functievoorschrift voor }g_{R}} \\ &=& \displaystyle\lim_{y \downarrow 0}\left(\frac{f(x+y)-f_+(x)}{y}\cdot\frac{y}{\sin(\frac{y}{2})}\right)\\ &=& \displaystyle\lim_{y \downarrow 0}\frac{f(x+y)-f_+(x)}{y} \cdot\lim_{y \downarrow 0}\frac{y}{\sin(\frac{y}{2})}\\ &=& f'_+(x)\cdot 2 \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{bovenstaande bewering en }\lim_{y \downarrow 0}\frac{\sin(y)}{y} =1} \\ &=&2 f'_+(x) \end{array}\]

Op dezelfde manier kunnen we bewijzen dat #\lim_{y \downarrow 0} g_{L}(y)=2 f'_-(x)#. In het bijzonder is de functie #g_{L}+g_{R}# Riemann-integreerbaar op #\ivcc{0}{\pi}#, zodat het Riemann-Lebesgue lemma geeft

\[\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{\pi}\left(g_{L}(y)+g_{R}(y)\right)\cdot \sin((n+\frac12)y)\, \dd y = 0 \end{array}\]

Bijgevolg

\[\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} s_n(x)=\frac{f_-(x)+f_+(x)}{2} \]

Als #f# continu is in #x#, dan valt #\frac{1}{2} \left(f_-(x)+f_+(x)\right)# samen met #f(x)# en convergeert de Fourier-reeks naar #f(x)#.