Een reële functie hoeft niet continu te zijn om integreerbaar te zijn. Voorbeelden zijn de stapfuncties, die een enkele discontinuïteit hebben en daarbuiten constant zijn. De functie gedraagt zich goed in zo'n punt, in de zin dat de rechter limiet en de linker limiet van de stapfunctie in de discontinuïteit reële getallen zijn. Met het oog op vergroting van de klasse van de continue functies met zulke handige functies voor vele toepassingen, introduceren we de begrippen van een stuksgewijs continue en een stuksgewijs gladde functie.
We brengen in herinnering dat een functie glad heet als deze differentieerbaar is en de afgeleide ervan continu.
Laat #f# een reële functie zijn en #I# een gesloten interval waarop #f# gedefinieerd is.
- Een punt #a# van #I# wordt een sprong-discontinuïteit van #f# genoemd als #f_{-}(x) = \lim_{x\uparrow a} f(x)# en #f_{+}(x) = \lim_{x\downarrow a} f(x)# reële getallen zijn.
- \(f\) heet stuksgewijs continu op \(I\) als er een eindige verzameling punten #a_1,\ldots,a_n# in #I# is, zodat #f# continu is in alle punten van #I# ongelijk aan #a_1,\ldots,a_n#, en elke discontinuïteit van #f# in #I# een sprong-discontinuïteit is.
- \(f\) heet stuksgewijs glad op het interval \(I=\ivcc{a}{b}\) als er een eindige verzameling punten #a_1,\ldots,a_n# in #I#, geordend zodat #a_0\le a_1\lt a_2\lt\cdots\lt a_n\le b=a_{n+1}#, met de eigenschappen dat #f# differentieerbaar is met continue afgeleide op elk open interval #\ivoo{a_i}{a_{i+1}}# #(i=0,\ldots,n)# en dat elke #a_i# #(i=1,\ldots,n)# ofwel een continuïteit of een sprong-discontinuïteit van #f# en #f'# is.
De functie \(f\) waarvan de grafiek hieronder getekend is, is stuksgewijs continu op \(\ivcc{-1}{1}\) met sprong-discontinuïteiten in \(x=-0.6\) en \(x=0.4\). We geven een eindpunt van een kromme die niet tot de grafiek van #f# behoort aan met een kleine open cirkel en een punt dat behoort tot de grafiek met een kleine gesloten cirkel.
Een functie die overal op een interval #I# gedefinieerd is met uitzondering van een eindig aantal punten van #I#, wordt wel stuksgewijs op #I# genoemd. De afgeleide van een stuksgewijze gladde functie is een voorbeeld.
In veel gevallen kunnen de waarden van een stuksgewijze functie in de uitzonderingspunten worden gekozen naar gelang de situatie. Voor de benadering van een stuksgewijze functie #f# door middel van Fourier-reeksen die we later zullen bespreken, is het handig om de waarde in zo'n punt #x# gelijk te kiezen aan het punt dat precies in het midden ligt tussen de linker limiet en de rechter limiet van #f# in #x#.
Daarom zullen we de afgeleide #f'# van een stuksgewijs gladde functie vaak opvatten als zijnde gedefinieerd op het hele interval #I#. Met deze interpretatie van #f'# is de afgeleide van een stuksgewijs gladde functie #f# stuksgewijs continu.
Stuksgewijze functies zijn niet hetzelfde als stuksgewijs gedefinieerde functies. De term stuksgewijs gedefinieerd verwijst naar een functievoorschrift dat wordt gegeven in stukken, afhankelijk van het interval waartoe het argument #x# behoort. De functie #f# op #\ivcc{0}{1}# gegeven #f(0)=0# en #f(x) = n # als #x\in\ivoc{\frac{1}{n+1}}{\frac{1}{n}}# voor #n=1,2,\ldots# is stuksgewijs gedefinieerd, maar wel gedefineerd in alle punten van het interval.
Stuksgewijs continue functies zijn Riemann-integreerbaar en de integraal kan worden uitgedrukt in termen van integralen van continue functies.
Stel dat #f# stuksgewijs continu is op een gesloten interval #\ivcc{a}{b}# en laat #a_1,\ldots,a_n# de sprong-discontinuïteiten van #f# in oplopende volgorde zijn. Voor #i=1,\ldots,n+1#, duiden we met #f_i# de functie op het gesloten interval #\ivcc{a_{i-1}}{a_{i}}# aan, waarbij #a_0=a# en #a_{n+1} = b#, die gelijk is aan #f# op het open interval #\ivoo{a_{i-1}}{a_{i}}# en de waarden #f_+(a_{i-1})# op #a_{i-1}# en #f_-(a_{i})# bij #a_{i}# aanneemt. Deze functie #f_i# is continu op #\ivcc{a_{i-1}}{a_{i}}# voor #i=1,\ldots,n+1# en er geldt
\[\int_a^b f(x)\dd x= \sum_{i=1}^{n+1} \int_{a_{i-1}}^{a_{i}} f_i(x)\dd x\]
Door de keuze van de sprong-discontinuïteiten is de functie #f_i# continu op het open interval #\ivoo{a_{i-1}}{a_{i}}#. Aangezien #\lim_{x\downarrow a_{i-1}}f(x) = f_+(a_{i-1}) = f_i(a_{i-1})# is de functie #f_i# continu in #a_{i-1}# en om soortgelijke redenen ook continu in #a_i#, zodat #f_i# continu is in ieder punt van #\ivcc{a_{i-1}}{a_{i}}#. Dit betekent dat ze continu is op #\ivcc{a_{i-1}}{a_{i}}#. In het bijzonder is #f_i# Riemann integreerbaar op #\ivcc{a_{i-1}}{a_{i}}#. De som #\sum_{i=1}^{n+1} f_i# verschilt alleen van #f# in de punten #a_i# ( #i=1,\ldots,n# ), en dus geldt
\[\int_a^b f(x)\dd x= \int_{a_{i-1}}^{a_{i}}\sum_{i=1}^{n+1} f_i(x)\dd x= \sum_{i=1}^{n+1} \int_{a_{i-1}}^{a_{i}} f_i(x)\dd x\]
Toegepast op de afgeleide #f'# van een stuksgewijze gladde functie #f#, zonder sprong-discontinuïteiten voor #f# en #f'# buiten de #a_i# vinden we
\[\begin{array}{rcl}\int_a^b f'(x)\dd x &=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \int_{a_{i-1}}^{a_{i}} (f')_i(x)\dd x \\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \int_{a_{i-1}}^{a_{i}} f_i(x)\dd x\\&=&\displaystyle\sum_{i=1}^{n+1} \left(f_-(a_{i}) - f_+(a_{i-1})\right)\\&=&\displaystyle f_-(b)-f_+(a) + \sum_{i=1}^{n}\left( f_-(a_{i}) - f_+(a_{i})\right)\end{array}\]
Hier is een herformulering van partiële integratie, waarin de hypotheses zijn afgestemd op onze behoeften.
Laat #\ivcc{a}{b}# een gesloten interval van eindige lengte zijn en veronderstel dat #f# en #g# continue en stuksgewijs gladde reële functies zijn op #\ivcc{a}{b}#. Dan zijn #f'\cdot g# en #f\cdot g'# stuksgewijs continu en dus integreerbaar op #\ivcc{a}{b}# en de bepaalde integraal van het product #f'\cdot g# op #\ivcc{a}{b}# voldoet aan \[ \int_a^b f'(x)\cdot g(x)\dd x = f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a) -\int_a^b f(x) \cdot g'(x)\dd x\]
De productregel voor differentiatie geeft #(f\cdot g)'= f\cdot g'+ f'\cdot g =f+g#, wat kan worden herschreven als \[ f'\cdot g = (f\cdot g)'- f\cdot g'\]
Door de hypothesen vertegenwoordigen beide zijden integreerbare functies. Inderdaad, #f#, #f'#, #g# en #g'# zijn stuksgewijs continu op het interval, wat tot gevolg heeft dat ook #f\cdot g'# en #f'\cdot g# stuksgewijs continu zijn. Daarom bestaan de Riemann-integralen ervan. Door het nemen van de bepaalde integraal op #\ivcc{a}{b}# aan beide zijden van de productregel, vinden we
\[\int_a^b f'(x)\cdot g(x)\dd x = f(b)\cdot g(b)-f(a)\cdot g(a) -\int_a^b f(x) \cdot g'(x)\dd x\]
Het bewijs van de stelling is gebaseerd op de partiële integratie techniek, die niet toepasbaar is als de functies stuksgewijs glad zijn en een ervan niet continu is. Denk bijvoorbeeld aan de functies op #\ivcc{0}{1}# gegeven door
\[ f(x)=\frac{x^2}{2} \text{ } \quad \text{ and }\quad g(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \lt x \leq 1 \end{cases} \]
Beide functies zijn stuksgewijs glad en #f# is continu, maar #g# heeft een discontinuïteit in #\frac{1}{2}#.
Stel dat we de volgende integraal willen berekenen.
\[\int_0^1 f' (x)\cdot g(x) \, \dd x \]
Omdat #g'=0#, #g(1) = 0# en #f(0)=0#, geeft de rechterkant van de partiële integratie formule
\[ f(1)\cdot g(1) - f(0)\cdot g(0) - \int_0^1 f(x)\cdot g' (x)\, \dd x = 0\]
Aan de andere kant,
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_0^1 f'(x) \cdot g(x) \, \dd x = \int_0^{\frac12} x \,\dd x = \left. \frac{x^2}{2} \right|_0^{\frac12} = \frac{1}{8} \neq 0 \end{array}\]
We concluderen dat de rechterkant van de partiële integratie formule verschilt van de linkerkant.
Toepassing van de formule op de gesloten intervallen #\ivcc{0}{\frac{1}{2}}# en #\ivcc{\frac{1}{2}}{1}# geeft
\[\begin{array}{rcl}\int_0^1 f' (x)\cdot g(x) \, \dd x &=& \int_0^{\frac{1}{2} }f' (x)\cdot g(x) \, \dd x + \int_{\frac{1}{2}}^{1} f' (x)\cdot g(x) \, \dd x\\ &=& f(\frac{1}{2})\cdot g_-(\frac{1}{2}) - f(0)\cdot g(0) - \int_0^{\frac{1}{2}} f(x)\cdot g' (x)\, \dd x\\ &&+ f(1)\cdot g(1)-f(\frac{1}{2})\cdot g_+(\frac{1}{2}) - \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)\cdot g' (x)\, \dd x\\ &=&\frac{1}{8}-0-0+0-0 -0\\ &=&\frac{1}{8}\end{array}\]
wat een correcte toepassing van de partiële integratie formule is aangezien de functie #f# continu is en #g# continu op de intervallen #\ivco{0}{\frac{1}{2}}# en #\ivoc{\frac{1}{2}}{1}# en kan worden uitgebreid tot een continue functie op de corresponderende gesloten intervallen met behulp van #g_-# respectievelijk #g_+#, in het randpunt #\frac12#.
Laat #f# de functie op #\ivcc{-1}{1}# zijn gegeven door
\[f(x) = \begin{cases} -3\cdot x & \text{als } \,-1\le x \lt 0\\ \euler^ {- 2\cdot x }& \text{als }\quad 0\le x \le 1\end{cases}\]
Bereken \[\int_{-1}^{1} f(x){\dd x}\]
\(\int_{-1}^{1} f(x){\dd x}=\) \( 2-{{\euler^ {- 2 }}\over{2}}\)
De integrand #f# is stuksgewijs continu op #\ivcc{-1}{1}#. De enige sprong-discontinuïteit ervan treedt op bij #0#. Vanwege de stelling
bepaalde integraal van een stuksgewijze continue functie geldt
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle \int_{-1}^{1} f(x){\,\dd x} &=&\displaystyle \int_{-1}^{0} -3\cdot x\, {\dd x} + \int_{0}^{1} \euler^ {- 2\cdot x }\,{\dd x} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{bovengenoemde stelling}}\\
&=&\displaystyle \left[ -{{3\cdot x^2}\over{2}}\right]_{-1}^{0} + \left[-{{\euler^ {- 2\cdot x }}\over{2}}\right]_{0}^{1} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fundamentaalstelling van de Analyse}}\\
&=&\displaystyle {{3}\over{2}} +{{1}\over{2}}-{{\euler^ {- 2 }}\over{2}} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{grenswaarden ingevuld}}\\
&=&\displaystyle 2-{{\euler^ {- 2 }}\over{2}} \\
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\\ \end{array}\]
Stuksgewijs continue en gladde functies
