Laat #X# een deelverzameling van #\mathbb{R}# zijn die van boven begrensd is. Dit betekent dat er een reëel getal #M# is, zodat #x\le M# voor #x\in X#. Zo'n getal #M# wordt ook wel een bovengrens van #X# genoemd.
Als #X# een van boven begrensd gesloten interval #\ivcc{a}{b}# is, dan is #b# het maximum van #X#, dat wil zeggen: het unieke element van #X# met #x\le b# voor #x\in X#.
Als #X# een van boven begrensd open interval #\ivoo{a}{b}# is, dan is #b# niet het maximum van #X# en evenmin is enig ander getal het maximum. Toch is het nuttig om een interpretatie van #b# te hebben in termen van #X#. Hiervoor is het begrip supremum is zeer nuttig.
Laat #X# een niet-lege verzameling zijn. We zeggen dat #s# het supremum van #X# is als het voldoet aan de volgende twee voorwaarden: #s# is een bovengrens van #X# en #s# is de kleinste bovengrens van #X#, dat wil zeggen: voor elke #t# die ook een bovengrens van #X# is, geldt #s\le t#.
Laat, net zo, #X# zijn een niet-lege verzameling zijn. We zeggen dat een getal #u# het infimum van #X# is als #-u# het supremum van #-X# is.
Als #f# een reële functie is met domein #X#, dan is het supremum van #f# het supremum van het beeld van #f# en hetzelfde geldt voor het infimum, maximum en minimum van #f#.
Als #A# een verzameling of een functie is, dan schrijven we vaak #\sup(A)# voor het supremum en #\inf(A)# voor het infimum van #A#. Ook zullen we wel #\text{min}(A)# schrijven voor het minimum van #A# en #\text{max}(A)# voor het maximum van #A# als het bestaat.
Voor het open interval #\ivoo{a}{b}#, is het infimum #a# en het supremum #b#, terwijl het minimum en het maximum niet bestaan.
Voor het gesloten interval \(\ivcc{a}{b}\) geldt \[\begin{array}{rcl}\text{inf}(\ivcc{a}{b})&=&\text{min}(\ivcc{a}{b})= a\\ \text{sup}(\ivcc{a}{b})&=&\text{max}(\ivcc{a}{b})= b\end{array}\]
Als #s# en #t# beide suprema van #X# zijn, dan geldt #s\le t# omdat #s# een kleinste bovengrens is en #t\le s# omdat #t# een kleinste bovengrens is, en dus #s=t#. Dit laat zien dat er ten hoogste één supremum is. Het bewijs voor het infimum is analoog.
Stel dat #X# niet leeg is, zodat het een element #x_1# heeft, en stel dat#X# een bovengrens # getallen met #x_1\le s_1#. Als #x_1=s_1#, dan is #s_1# het supremum van #X#. We willen aantonen dat het supremum van #X# bestaat. Stel dat #s_1# niet het supremum is. We gaan als volgt te werk voor #n=1,2,\ldots#, te beginnen met #n=1#. We schrijven #m_{n} = \frac12(x_n+s_n)#. Als #m_n# een bovengrens is van #X#, dan nemen we #\rv{x_{n+1},s_{n+1}} = \rv{x_n,m_n}#. Zoniet, dan is er een punt #u# in #X# met #u\gt m_n# en nemen we #\rv{u,s_{n+1}} = \rv{x_{n+1},s_n}#. Dit leidt tot een zwak dalende rij #s_1,s_2,\ldots# die van onder begrensd is. Dus #s = \lim_{n\to\infty}s_n# bestaat. Nu is #x_1,x_2,\ldots# een zwak stijgende rij die van boven begrensd is door #s#. Verder geldt #\lim_{n\to\infty}x_n = s# omdat de afstand van #s# tot #x_{n+1}# hoogstens de helft van de afstand van #s# tot #x_{n}# is. Als #s# niet het supremum van #X# is, dan zou er een strikt kleiner getal #t# zijn dat een bovengrens van #X# is. Vanwege #\lim_{n\to\infty}x_n = s#, zou het interval #\ivoc{t}{s}# een element #x_n# bevatten voor #N# groot genoeg, wat tegenspreekt dat #t# een bovengrens is. Dit laat zien dat #s#de kleinste bovengrens van #X# is.
We concluderen dat het supremum van elke niet-lege van boven begrensde verzameling bestaat en uniek is. Net zo is te bewijzen dat het infimum van elke niet-lege van onder begrensde verzameling bestaat en uniek is.
Als #X# niet leeg is en niet van boven begrensd, dan is er geen bovengrens en dus geen supremum van #X#. We schrijven dan wel #\sup(X) = \infty#. Ook als #X# niet leeg is en niet van onder begrensd, bestaat infimum van #X# niet en schrijven we wel #\inf(X) = -\infty#.
De reële functie #f(x) = \frac{1}{x^2+1}# heeft maximum (en dus supremum) #1# (aangenomen in #x=0# ) en infimum #0#, wat gelijk is #\lim_{x\to\infty}f(x)#, maar geen minimum.
In plaats vanf supremum, spreken we ook wel van kleinste bovengrens.
Het infimum staat ook bekend als grootste ondergrens.
We zullen deze begrippen nu karakteriseren met een uitspraak die aan limieten doet denken.
Laat #X# een niet-lege deelverzameling van de reële getallen zijn die van boven begrensd is en laat #s# een bovengrens van #X# zijn. Het getal #s# is dan en slechts dan het supremum van #X# als er voor elk positief getal #\varepsilon# een element #x# van #X# bestaat, zodat #s-\varepsilon \lt x#.
Laat #X# zijn een niet-lege deelverzameling van de reële getallen zijn die van onder begrensd is en laat #s# een ondergrens van #X# zijn. Het getal #s# is dan en slechts dan het infimum van #X# als er voor elk positief getal #\varepsilon# een element #x# van #X# bestaat, zodat #s+\varepsilon \gt x#.
Laat #X# en #s# zijn zoals vermeld in de voorwaarden van de stelling. Het bewijs voor het geval van een infimum is zeer vergelijkbaar met het bewijs in het geval van een supremum. Daarom beperken we ons tot het geval van een supremum. Stel dat #s# een bovengrens van #X# is.
#\Rightarrow# Neem aan dat #s# een supremum van #X# is en laat #\varepsilon# een willekeurig positief getal zijn. Dan volgt #s-\varepsilon\lt s#, dus #s-\varepsilon# is geen bovengrens van #X#. Volgens de definitie van het supremum voor #s# bestaat er een element #x# in #X#, zodat #s-\varepsilon\lt x#.
#\Leftarrow# Veronderstel vervolgens dat er voor elk positief getal #\varepsilon# een element #x# in #X# bestaat, zodat #s-\varepsilon\lt x#. Laat #t# een bovengrens van #X# zijn. Neem aan dat #t\lt s#. Schrijf #\varepsilon =s-t#. Dan geldt #\varepsilon\gt0#, dus bestaat er een element #x# in #X#, zodat #t=s-\varepsilon \lt x#. Dit is in tegenspraak met de voorwaarde dat #t# een bovengrens van #X# is. We concluderen dat #t\ge s#. Dit bewijst dat #s# de kleinste bovengrens van #X# is, zodat #s # een supremum van #X# is.
In termen van limieten: een bovengrens #s# van een deelverzameling #X# van #\mathbb{R}# is dan en slechts dan een supremum van #X# als er een rij #x_1,x_2,\ldots# van elementen #x_i# van #X# bestaat, zodat #\lim_{n\to\infty}x_n = s#.
Als #X# de verzameling elementen van een rij #x_1,x_2,\ldots# van reële getallen is die van boven begrensd is door #M#, dan hoeft #\lim_{n\to\infty}x_n# niet bestaan, maar is #s = \sup(X)# goed gedefinieerd en voldoet #s# aan #s\le M#.
Als bijvoorbeeld #x_n = (-1)^n\cdot \frac{n-1}{n}#, dan geldt \[\sup\{x_n\mid n=1,2,\ldots\} = 1\phantom{xxx}\text{ en }\phantom{xxx}\inf\{x_n\mid n=1,2,\ldots\} = -1\]
Als #x_1,x_2,\ldots# een rij is met \[\sup\{x_n\mid n=1,2,\ldots\} =\inf\{x_n\mid n=1,2,\ldots\} \] dan bestaat #\lim_{n\to\infty}x_n#, en valt het samen met het supremum en infimum van de verzameling van alle #x_n#.
Als #a_i# #(i=1,2,\ldots)# een stijgende rij is, dan is de limiet ervan, als deze bestaat, gelijk aan het supremum van de verzameling #\{a_i\mid i=1,2,\ldots\}#.
Als #a_i# #(i=1,2,\ldots)# een dalende rij is, dan is de limiet ervan, als deze bestaat, gelijk aan het infimum van de verzameling #\{a_i\mid i=1,2,\ldots\}#.
Laat #f# de functie op # \ivoo{-\infty}{\infty} # zijn gegeven door
\[ f(x) = {{1}\over{x^2+1}}\]
Bepaal of het maximum, het supremum, het minimum en het infimum van #f# bestaan en zo ja, bepaal de waarde.
Vul #\text{geen}# in als de waarde niet bestaat (dus gebruik niet #\infty#).
- #\max(f)=# # 1#
- #\sup(f)= # # 1#
- #\min(f)=# # geen#
- #\inf(f)=# # 0#
De vier waarden zijn maximum, supremum, minimum en infimum van het beeld van #f#. Daarom bepalen we eerst dit beeld.
De waarden van #f(x)=\frac{1}{x^2+1}# liggen tussen #0# en #1#. Als #a# een positief getal tussen #0# en #1# is, dan wordt #a# bereikt door #f(x)# als #\frac{1}{x^2+1}=a#, dus als #x=\sqrt{\frac{1}{a}-1}#. De waarde #0# wordt nooit bereikt, want #\frac{1}{x^2+1} = 0# heeft geen oplossing in #x#.
Daarom valt het beeld van #f# samen met het interval #\ivoc{0}{1}#. We concluderen dat #\max(f) = 1#, #\sup(f) = 1#, #\min(f) = geen# en #\inf(f) =0#.
Infimum en supremum
