Fourier-reeksen voor even en oneven functies

Fourierreeksen: Fourier-reeksen

Fourier-reeksen voor even en oneven functies

In de Fourier-reeks van een oneven of even functie is de helft van de coëfficiënten nul.

Fourier-coëfficiënten van even en oneven functiesLaat #L# een positief getal zijn en #f# een #2L#-periodieke functie. Stel dat #f# de volgende Fourier-reeks heeft.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos \left(\frac{\pi n x}{L}\right) + b_n \sin \left(\frac{\pi n x}{L}\right) \end{array}\]

Als #f# even is, dan geldt #b_n=0# voor #n=1,2,\ldots#
Als #f# oneven, dan geldt #a_n=0# voor #n=0,1,2\ldots#

Stel dat #f# even is. Aangezien #\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# een even functie is, is het product #f(x)\cdot \cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# even. Tegelijkertijd is #\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# oneven, zodat #f(x)\cdot \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# ook oneven is. Met behulp van de Euler formules voor de coëfficiënten, kunnen we de Fourier-coëfficiënten van #f# berekenen.

\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle a_n &=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = \frac{2}{L} \int_0^{L} f(x)\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x \quad \text{voor } n=0,1,\ldots \\ b_n &=& \displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = 0 \quad \text{voor } n=1,2,\ldots \end {array} \]

Dus de Fourier-reeks van een even functie bevat alleen cosinussen en kan worden geschreven als beweerd in de stelling.

Laat #f(x)# nu een oneven functie zijn. Aangezien #\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# duidelijk een even functie is voor alle niet-negatieve #n#, is het product #f(x)\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# oneven. Tegelijkertijd is #\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# oneven, zodat #f(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# even is. Alweer kunnen we met behulp van de Euler formules, de coëfficiënten van de Fourier-reeks voor #f# berekenen.

\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle a_n &=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = 0 \quad \text{voor } n=0,1,\ldots \\ b_n &=& \displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = \displaystyle\frac{2}{L} \int_0^{L} f(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x \quad \text{voor } n=1,2,\ldots \end {array} \]

De Fourier-reeks van een even functie bevat dus alleen sinussen en kan worden geschreven als

\[\begin{array}{c}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \end{array}\]

De Fourier-reeks van een periodieke even functie bevat dus alleen termen met een sinus en kan geschreven worden als

\[\begin{array}{c}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \end{array}\]

Stuksgewijs glad

Ook als #f# periodiek en stuksgewijs glad is en zich gedraagt als een even of oneven functie op de punten waar #f# en #f'# continu zijn, geldt de stelling nog.

Zo is de #2#-periodieke functie #f# die #-1# is op #\ivco{-1}{0}# en #1# op #\ivco{0}{1}# oneven buiten de punten #2k# voor #k# geheel en is de coëfficiënt #a_0# van de Fourier-reeks gelijk aan #0#.

Bekijk de #2#-periodieke functie die bepaald is door \[f(x)=\begin{cases}-2 x ^2 &\text{if } -1 \leq x\lt 0\\ 2 x ^2 &\text{if } 0\leq x\lt 1\end{cases} \]

De Fourierreeks ervan heeft de vorm \[f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\left(a_m\cdot\cos\left(\frac{m\cdot\pi\cdot x}{L}\right)+b_m\cdot\sin\left(\frac{m\cdot\pi\cdot x}{L}\right)\right)\] Hierbij is \(L=1\) de halve periode van \(f\).

Van welke van de coëfficiënten van de Fourierreeks kunnen we zeggen dat ze nul zijn zonder verdere berekening?

\(a_0 =0\)
\(a_m=0\) voor \( m=1,2,3,\dots\)

De functie is oneven, dus alle coëfficiënten #a_m# zijn nul.

De grafiek van de functie \(f(x)\) is getekend over drie perioden in onderstaande figuur.

Nieuw voorbeeld