Stel dat #f# even is. Aangezien #\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# een even functie is, is het product #f(x)\cdot \cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# even. Tegelijkertijd is #\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# oneven, zodat #f(x)\cdot \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# ook oneven is. Met behulp van de Euler formules voor de coëfficiënten, kunnen we de Fourier-coëfficiënten van #f# berekenen.

\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle a_n &=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = \frac{2}{L} \int_0^{L} f(x)\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x \quad \text{voor } n=0,1,\ldots \\ b_n &=& \displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = 0 \quad \text{voor } n=1,2,\ldots \end {array} \]

Dus de Fourier-reeks van een even functie bevat alleen cosinussen en kan worden geschreven als beweerd in de stelling.

Laat #f(x)# nu een oneven functie zijn. Aangezien #\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# duidelijk een even functie is voor alle niet-negatieve #n#, is het product #f(x)\cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# oneven. Tegelijkertijd is #\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# oneven, zodat #f(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right)# even is. Alweer kunnen we met behulp van de Euler formules, de coëfficiënten van de Fourier-reeks voor #f# berekenen.

\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle a_n &=&\displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = 0 \quad \text{voor } n=0,1,\ldots \\ b_n &=& \displaystyle\frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x = \displaystyle\frac{2}{L} \int_0^{L} f(x)\sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \dd x \quad \text{voor } n=1,2,\ldots \end {array} \]

De Fourier-reeks van een even functie bevat dus alleen sinussen en kan worden geschreven als

\[\begin{array}{c}\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{\pi n x}{L}\right) \end{array}\]