Even en oneven functies

Fourierreeksen: Fourier-reeksen

Even en oneven functies

Ten behoeve van efficiënte berekeningen is het handig om te werken met functies die op een of andere manier symmetrisch zijn. Hier zullen we even functies bespreken. De grafiek van zo'n functie is symmetrisch ten opzichte van de #y#-as. Ook bespreken we oneven functies, waarvan de grafiek invariant onder de rotatie van #180# graden om de oorsprong.

Even en oneven functies Laat #f(x)# een reëel-waardige functie zijn van één reële variabele.

We zeggen dat #f# even is als voor elke #x# in het domein van #f#, het getal #-x# ook behoort tot het domein van #f# en voldoet aan

\[ f(-x)=f(x) \]

We zeggen #f# oneven is als voor elke #x# in het domein van #f#, het getal #-x# ook behoort tot het domein van #f# en voldoet aan

\[ f(-x)=-f(x) \]

Voorbeelden Voorbeelden van even functies zijn

constante functies
de functie #\cos#
de absolute waarde #|x|#
#p(x^2)# voor een functie #p(x)# met reële coëfficiënten #p#

Voorbeelden van oneven functies zijn

de functie #\sin#
de functie #\sinh#
#x^{2n+1}# voor #n \in \mathbb{N}#

Waarde in de oorsprong De waarde van een oneven functie in de oorsprong (als deze gedefinieerd is) is gelijk aan #0#. Immers, #f(0) = -f(0)#.

Bepaalde integratie

Zoals hierboven vermeld is de grafiek van een even functie symmetrisch ten opzichte van de #y#-as, terwijl de grafiek van een oneven functie invariant is onder rotatie van #180# graden om de oorsprong. Met deze opmerking in het achterhoofd kunnen we een aantal feiten afleiden over integralen van oneven en even integreerbare functies gedefinieerd op intervallen zoals #\ivcc{-a}{a}#, waarbij #a \in \mathbb{R}#.

Als #f# even is, dan geldt $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \dd x = 2\int_{0}^a f(x) \dd x $.
Als #f# oneven, dan geldt $\displaystyle \int_{-a}^a f(x) \dd x = 0 $.

Periodieke functies Laat #L# een reëel getal zijn en #f# een reële #2L#-periodieke functie. Dan wordt #f# bepaald door de waarden op #\ivcc{-L}{L}#. Als #f# ook even of oneven is, dan wordt al bepaald door de waarden op #\ivcc{0}{L}#.

Omgekeerd, als #g# wordt gegeven door een functievoorschrift op #\ivcc{0}{L}#, dan is er een unieke even #2L#-periodieke uitbreiding van #g# tot #\mathbb{R}#.

Als bovendien #g(0)=0#, dan is er ook een unieke oneven #2L#-periodieke uitbreiding van #g# tot #\mathbb{R}#.

De verzameling van even functies op een bepaald domein vormt een reële vectorruimte en hetzelfde geldt voor de oneven functies. Een reëelwaardige functie #f# hoeft niet even of oneven te zijn, maar kan worden geschreven als de som van een even en een oneven functie.

Elke reëelwaardige functie #f# van een enkele variabele $x$ kan uniek worden geschreven als de som #f_e(x)+f_o(x)#, waarbij

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle f_e(x) &=& \displaystyle\frac{f(x)+f(-x)}{2} \\ \displaystyle f_o(x) &=& \displaystyle\frac{f(x)-f(-x)}{2} \end{array}\]

Het feit dat de functie #f_e(x)# even is, volgt uit de volgende berekening.

\[f_e(-x) = \displaystyle\frac{f(-x)+f(x)}{2}= \displaystyle\frac{f(x)+f(-x)}{2}=f_e(x)\]

Net zo volgt het feit dat de functie #f_o(x)# oneven is uit

\[f_o(-x) = \displaystyle\frac{f(-x)-f(x)}{2}= \displaystyle-\,\frac{f(x)-f(-x)}{2}=f_o(x)\]

Voor wat betreft de uniciteit merken we eerst op dat de enige functie die zowel even en oneven is, de constante functie #0# is. Immers, als #k# zo'n functie is, dan geldt #k(x) = k(-x) = -k(x)#, zodat #2k(x) = 0#, hetgeen impliceert dat #k(x)=0#. Stel nu dat #g# een even functie en #h# een oneven functie zodanig dat #f=g+h#. Dan geldt, #g+h = f = f_e+f_o# wat tot gevolg heeft dat

\[ f_e-g=h-f_o\]

Deze functie is zowel even (zoals blijkt uit de linker zijde) en oneven (zoals blijkt uit de rechter zijde). Dankzij de eerder gemaakte opmerking geldt #f_e-g = h-f_o=0#, en dus #g=f_e# en daarmee #h = f_o#. Dit bewijst de uniciteit van de schrijfwijze van #f# als de som van een even en een oneven functie.

Directe som In termen van een vectorruimte #P# functies, kan het resultaat worden geformuleerd als: #P# is de directe som van #P_e#, de deelruimte van de even functies van #P# en #P_o# de deelruimte van de oneven functies van #P#.

We bespreken nog een eigenschap die nuttig is bij berekeningen.