De Fourier-reeks van een primitieve van een reële periodieke functie #f# kan worden bepaald uit de Fourier-reeks van #f# als deze bestaat.
Stel dat #f# een reële #2\pi#-periodieke functie is die stuksgewijs continu is op #\ivcc{-\pi}{\pi}# met Fourier-reeks
\[s_f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin( nx )\right)\]
De primitieve #F(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t# van #f# voldoet aan
\[ F(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n}+ \frac{a_0 x}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \sin (nx) - b_n \cos (nx)}{n}\]
en # \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n} # is een reëel getal.
De Fourier-reeks #s_F# van de #2\pi#-periodieke functie waarvan de waarde #F(x)# is voor #x\in \ivco{-\pi}{\pi}#, wordt gegeven door
\[s_F(x) =\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-b_n\cos( nx) + (a_n - (-1)^{n} a_0) \sin (nx)}{n} \]
De bepaalde integraal van #f# op een interval #\ivcc{c}{d}# kan worden gevonden door termsgewijze integratie van de Fourier-reeks #f#:
\[\int_c^d f(x) \dd x = \frac{a_0}{2}(d-c)+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\sin (nd) - \sin( nc)) - b_n(\cos( nd) - \cos( nc))}{n} \]
Schrijf
\[ G(x)=\int_0^x \left(f(t)-\frac{a_0}{2}\right) \dd t \]
Deze functie is goed gedefinieerd omdat #f# stuksgewijs continu is op elk gesloten interval. De primitieve #F# van #f# met #F(0)=0# voldoet aan \[ F(x)=\int_0^x f(t)\dd t = \frac{a_0\,x}{2}+G(x)\]
De functie #G(x)# is differentieerbaar en haar afgeleide #f(x)-\frac{a_0}{2}# is stuksgewijs continu op #\ivcc{-\pi}{\pi}#. Bovendien is deze functie #2\pi#-periodiek, want
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle G(x+2\pi) &=& \displaystyle\int_0^{x+2\pi} \left(f(t)-\frac{a_0}{2}\right) \dd t \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschrift van }G}\\&=& \displaystyle\int_0^x \left(f(t)-\frac{a_0}{2}\right) \dd t +\int_x^{x+2\pi} \left(f(t)-\frac{a_0}{2}\right) \dd t \\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{eigenschap van bepaalde integralen}}\\&=& G(x) + \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \left(f(t)-\frac{a_0}{2} \right) \dd t \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{functievoorschrift van }G\text{, periodiciteit van }f\text{, en substitutieregel voor integralen}}\\&=& G(x) + \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} f(t) \dd t - \pi a_0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Fundamentaalstelling van de Analyse}}\\&=&G(x)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Euler-formule voor }a_0} \end{array}\]
De Stelling van Dirichlet geeft dat #G# een Fourier-reeks heeft. Laat #A_0#, #A_1#, #B_1#, #A_2#, #B_2,\ldots# de corresponderende Fourier-coëfficiënten zijn. Aangezien #G# differentieerbaar is, is #G# ook continu, zodat de Fourier-reeks convergeert naar #G(x)# in elk punt #x#:
\[G(x) = \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(A_n\cos( nx)+B_n\sin (nx)\right) \]
Aangezien #G# continu is, kunnen we de partiële integratie toepassen voor #n \geq 1#, en wel als volgt.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle A_n &=& \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} G(x) \cos( nx) \dd x \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\\ &=& \displaystyle\frac{1}{\pi} \left. G(x) \frac{\sin (nx)}{n} \right|^{x=\pi}_{x=-\pi} - \frac{1}{\pi n} \int_{-\pi}^{\pi}G'(t) \sin (nt) \dd t \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{partiële integratie}}\\&=& \displaystyle - \frac{1}{\pi n} \int_{-\pi}^{\pi} \left(f(t)-\frac{a_0}{2} \right) \sin (nt) \dd t \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\sin(k\pi) = 0\text{ voor gehele getallen }k}\\&=&\displaystyle - \frac{1}{\pi n} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin (nt) \dd t + \frac{1}{\pi n} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a_0}{2} \sin (nt) \dd t \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{ \text{lineariteit van integratie}}\\&=&\displaystyle- \frac{1}{\pi n} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) \sin (nt) \dd t \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\frac{a_0}{2}\sin(nt) \text{ is oneven en het interval is symmetrisch rond nul}}\\&=&\displaystyle -\frac{b_n}{n} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\end{array}\]
en evenzo \( B_n=\frac{a_n}{n} \). Aangezien #G# continu is, convergeert de Fourier-reeks naar #G(x)# in elk punt #x#. Bijgevolg geldt
\[F(x) =\displaystyle \frac{a_0 x}{2} +G(x)= \displaystyle \frac{a_0 x}{2} + \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \sin (nx) - b_n \cos (nx)}{n}\]
Door evaluatie van deze uitdrukking voor #F(x)# in #x = d# en #x=c# krijgen we
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int_c^d f(x) \dd x &=& F(d) - F(c) \\ &=&\displaystyle \frac{a_0}{2}(d-c)+ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n(\sin (nd) - \sin( nc)) - b_n(\cos( nd) - \cos( nd))}{n} \end{array}\]
waaarmee de formule voor de bepaalde integraal van #f# afgeleid is.
Substitutie van #x=0# in de bovenstaande Fourier-reeks voor #F(x)# geeft \( 0=F(0) = \frac{A_0}{2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{ b_n }{n}\), dus
\[ \frac{A_0}{2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n}\]
Aldus vinden we \[F(x) = \displaystyle \frac{a_0 x}{2} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \sin (nx) - b_n \cos (nx)}{n}\]
Dit bewijst de eerste uitspraak van de stelling.
Door toepassing van de Euler formules zien we eenvoudig in dat de Fourier-reeks van de #2\pi#-periodieke functie bepaald door #\frac{x}{2}# op #\ivco{-\pi}{\pi}# gelijk is aan
\[ s_{\frac{x}{2} }=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin (nx)}{n} \]
Substitueren deze twee uitdrukkingen voor #\frac{A_0}{2}# en #\frac{x}{2}# opnieuw in de Fourier-reeks voor de periodieke functie bepaald door #F#, dan kunnen we concluderen dat
\[\begin{array}{rcl}s_F(x) &=& \displaystyle a_0\cdot s_{ \frac{ x}{2} }+ \frac{A_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n \sin (nx) - b_n \cos (nx)}{n}\\ &=& \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{n}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{-b_n\cos( nx) + (a_n - (-1)^{n} a_0) \sin (nx)}{n}\end{array} \]
Dit bewijst de onbepaalde integraal-formule van de stelling.
De primitieve #F# van #f# is dan en slechts dan periodiek als #a_0=0#. Dit verklaart waarom de functie #G# wordt gebruikt in het bewijs.
De Fourier-reeks #s_F# die overeen komt met de primitieve van #f# convergeert naar #F(x)# in elk punt #x# van #\ivoo{-\pi}{\pi}# aangezien #F# (die differentieerbaar is) continu is op #\ivoo{-\pi}{\pi}#.
Uit toepassing van de stelling op een periodieke stuksgewijs gladde functie #f# blijkt dat de reeks \( \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n} \), die de constante in #s_F# is, convergeert. Dit feit kan nuttig zijn, bijvoorbeeld voor het uitsluiten op het eerste gezicht, dat een reeks, zoals
\[\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sin (nx)}{\log( n)} \]
de Fourier-reeks van een stuksgewijze gladde functie is; dit omdat
\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \log (n)} \]
divergeert.
Laat #f# de #2\pi#-periodic functie zijn die bepaald is \[f(x) = {{\pi-x}\over{2}}\quad \text{ for }\quad x \in \ivco{0}{2 \pi} \]
De Fourier-reeks ervan is \[\pi + \sum_{n=1}^{\infty}{{\left(2\cdot \left(-1\right)^{n}-1\right)\cdot \sin \left(n\cdot x\right)}\over{n}} \]
Laat #F# de #2\pi#-periodieke functie zijn die bepaald is door \[F(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t\quad\text{ voor }\quad x\in \ivco{-\pi}{\pi}\]
Welke van onderstaande uitdrukkingen is de Fourier-reeks #s_F# van #F# voor een geschikte constante #C#?
#s_F(x) = C+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-{{2 \pi \cdot \left(-1\right)^{n}\cdot \sin \left(n x \right)}\over{n}}-{{\left(2\cdot \left(-1\right)^{n}-1\right)\cdot \cos \left(n x \right)}\over{n^2}} \right)#
Vanwege de stelling
integratie van Fourier reeksen is er een constante #C# (eigenlijk #C = \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n}# ), zodat
\[\begin{array}{rcl}
s_F(x) & = &\displaystyle C + \sum_{n=1}^\infty \frac{-b_n\cos(nx)+(a_n-(-1)^na_0)\sin(nx)}{n} \\
\end{array}\]
De waarden van de Fourier-coëfficiënten # a_0 = 2\cdot \pi #, # a_n = 0 #, # b_n = {{2\cdot \left(-1\right)^{n}-1}\over{n}} # zijn bekend uit de Fourier-reeks van #f#, die gegeven is.
Substitutie van deze waarden geeft de uitdrukking
\[ s_F(x)= C+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-{{2 \pi \cdot \left(-1\right)^{n}\cdot \sin \left(n x \right)}\over{n}}-{{\left(2\cdot \left(-1\right)^{n}-1\right)\cdot \cos \left(n x \right)}\over{n^2}} \right)\]
Met de bekende formules \[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}= \frac{\pi^2}{6}\qquad \text{and its consequence }\qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2} = -\frac{\pi^2}{12} \] bepalen we #C# als volgt uit de identiteit #C = \sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{n}#.
\ [\ Begin {matrix} {C} rcl & = & \ displaystyle \ sum_ {n = 1} ^ \ infty \ frac {b_n} {n} \\
& = & \ displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }{{{2\cdot \left(-1\right)^{n}-1}\over{n^2}}} \\
& = & \ displaystyle 2\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=2\cdot -\frac{\pi^2}{12}-\frac{\pi^2}{6}=-\frac{\pi^2}{3}
\ End {matrix} \]
en dus
\[\begin{array}{rcl}
s_F(x) & = &\displaystyle -{{\pi^2}\over{3}}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(-{{2 \pi \cdot \left(-1\right)^{n}\cdot \sin \left(n x \right)}\over{n}}-{{\left(2\cdot \left(-1\right)^{n}-1\right)\cdot \cos \left(n x \right)}\over{n^2}} \right) \\
\end{array}\]
Integratie van Fourier-reeksen
