Onder milde voorwaarden kan de Fourier-reeks van de afgeleide #f'# van een stuksgewijze gladde periodieke functie #f# worden bepaald uit de Fourier-reeks van #f# door term voor term te differentiëren.
Laat #L# een positief getal zijn en #f# een reële #2L#-periodieke, continue en stuksgewijs gladde functie waarvan de afgeleide ook stuksgewijs glad is. Dan kan de Fourier-reeks #f'# worden verkregen door de Fourier-reeks van #f# term voor term te differentiëren. Dus als #a_0#, #a_1#, #b_1#, #a_2#, #b_2,\ldots# de Fourier-coëfficiënten van #f# zijn, dan is de Fourier-reeks #s_{f'}(x)# van #f'# gelijk aan
\[s_{f'}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n\pi}{L}\left(b_n \cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) -a_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right) \]
Het volstaat om de stelling te bewijzen in het geval #L=\pi#, aangezien #g(x) = f\left (\frac{L}{\pi }x\right)# periode #2\pi# heeft en uit het resultaat voor #g# het resultaat voor #f# onmiddellijk volgt, aangezien #f'(x) = \frac{\pi}{L} g'\left(\frac{\pi x}{L} \right)# vanwege de kettingregel voor differentiatie. Daarom nemen we aan dat #L = \pi#.
Onder de gegeven voorwaarden geldt de Stelling van Dirichlet voor #f'#, dus #f'# heeft een Fourier-reeks die naar #f'(x)# convergeert in alle punten #x# waar de #f'# continu is. Laat
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle s_f(x)&=&\displaystyle \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos(nx) +b_n\sin(nx))\\\displaystyle s_{f'}(x)&=&\displaystyle \frac{a'_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a'_n\cos(nx) +b'_n\sin(nx))\end{array}\] de Fourier-reeksen zijn van #f#, respectievelijk #f'#.
Dankzij de Euler-formules en partiële integratie voor stuksgewijs gladde functies, geldt
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle a'_0 &=&\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x) \dd x \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\\&=&\displaystyle\frac{1}{\pi}\left( f(\pi)-f(-\pi)\right)\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Fundamentaalstelling van de Analyse en continuïteit van }f}\\&=&0\\ &&\phantom{xx}\color{blue}{f(-\pi) = f(\pi)\text{ want }f\text{ is } 2\pi\text{-periodiek}}\\ \\ \displaystyle a'_n &=& \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x)\cos(nx)\dd x \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\\&=& \displaystyle\frac{1}{\pi} f(x)\cos(nx) \Bigr|_{-\pi}^{\pi} + \frac{n}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx) \dd x \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{partiële integratie; }f, \cos(nx)\text{ zijn continu en stuksgewijs glad}}\\&=& nb_n \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\\ \\ b'_n &=& \displaystyle\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f'(x)\sin(nx) \dd x \\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\\&=& \displaystyle\frac{1}{\pi} f(x)\sin(nx) \Bigr|_{-\pi}^{\pi} - \frac{n}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx) \dd x\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{partiële integratie; }f,\sin(nx)\text{ zijn continu en stuksgewijs glad}}\\ &=& -na_n\\&&\phantom{xx}\color{blue}{\text{Euler-formule}}\end{array}\]
Vandaar dat de Fourier-reeks #s_{f'}(x)# voor #f'# gelijk is aan
\[ \begin{array}{rcl}\displaystyle s_{f'}(x)&=&\displaystyle \frac{a'_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a'_n\cos(nx) +b'_n\sin(nx))\\& =&\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n(b_n \cos(nx) -a_n \sin(nx)) \end{array}\]
Dit is precies wat we krijgen door de Fourier-reeks van #f# term voor term te differentiëren.
Onder de voorwaarden van deze stelling geldt, voldoen de Fourier-coëfficiënten #a'_n#, #b'_n# van de afgeleide #f'# van #f# aan
\[a'_0= 0, \quad a'_n=\frac{n\pi b_n}{L} \quad \text{ en } \quad b'_n=-\frac{n\pi a_n}{L}\quad \text{ voor } \quad n=0,1,2,\ldots\]
Dit volgt onmiddellijk door de uitdrukkingen voor #s_{f'}(x)# in de uitspraak te vergelijken met
\[\frac{a'_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}\left(a'_n\cos\left(\frac{n\pi x}{L}\right) +b'_n\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\right)\]
Convergentie van coëfficiënten als behandeld in de stelling van Dirichlet voor Fourier-reeksen geeft de Fourier-coëfficiënten van een continue, stuksgewijs gladde functie met een stuksgewijs gladde afgeleide convergeren naar #0# als #n \rightarrow \infty#:
\[\lim_{n \rightarrow \infty} n a_n =\lim_{n \rightarrow \infty} n b_n = 0\]
Bekijk de functie
\[f(x) = \begin{cases} 0 & -\pi \leq x \lt 0 \\ 1 & 0 \leq x \lt \pi \end{cases}\]
De Fourier-reeks voor deze functie, uitgebreid tot de hele rechte lijn door het voorchrift van #2\pi#-periodiciteit, is
\[ \frac{1}{2}+ \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1-(-1)^n}{\pi n} \sin(nx) \]
Term voor term differentiëren van deze reeks zoals beschreven in de stelling, geeft
\[ \sum_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1-(-1)^{n}\cos(nx)}{\pi} \]
Maar deze reeks convergeert niet eens in #x=0#. Ook de coëfficiënten van de cosinus convergeren niet naar #0# voor #n\to\infty#. Dus deze reeks is niet de Fourier-reeks van de afgeleide van #f#. De stelling kan niet worden toegepast omdat de voorwaarde dat #f# continu is, niet vervuld is.
Laat #m\ge1#. De stelling kan #m# keer worden toegepast om af te leiden dat voor een echte #2\pi# -periodieke #m+1# keer differentieerbare functie #f# waarvan de #(m+1)#-ste afgeleide stuksgewijs continu is, de Fourier-reeks van de eerste #m# afgeleiden kunnen worden berekend door het term voor term differentiëren van de Fourier-reeks #f#. Al deze #m# reeksen convergeren naar de overeenkomstige afgeleiden. Bovendien is de Fourier coëfficiënten van #f# voldoen aan de relatie
\[\lim_{n \rightarrow \infty} n^m a_n = \lim_{n \rightarrow \infty} n^m b_n = 0 \]
De convergentie van de Fourier-reeks volgt weer door toepassing van de stelling van Dirichlet. De relaties die het gedrag richting oneindig van de Fourier-coëfficiënten beschrijven, kunnen worden afgeleid door door de formule bij de stelling herhaaldelijk toe te passen. Aldus vinden we
\[a_n= -\frac{b'_n}{n} = -\frac{a''_n}{n^2} = \frac{b'''_n}{n^3} = \cdots = \frac{\alpha^{(m)}_n}{n^m}\]
\[b_n= \frac{a'_n}{n} = -\frac{b''_n}{n^2} = -\frac{a'''_n}{n^3} = \cdots = \frac{\beta^{(m)}_n}{n^m}\]
waarbij #a'_n#, #a''_n, \ldots, b'_n, b''_n, \ldots# de Fourier-coëfficiënten van de functies #f'#, #f'', \ldots# zijn en #\alpha^{(m)}_n, \beta^{(m)}_n# de Fourier-coëfficiënten van #f^{(m)}#, voorzien van het juiste teken.
Uit de uniforme convergentie van de Fourier-reeks, die we later zullen bewijzen, volgt dat de eerste #m-1# reeksen uniform convergeren.
Bekijk de #2\pi#-periodieke functie #f# bepaald foor \[ f(x)=\frac{3x^2-6\pi x +2 \pi^2}{12}\quad \text{ voor } \quad x \in \ivco{0}{2\pi} \]
Ze is de afgeleide van de #2\pi#-periodieke functie #F# bepaald door \[ F(x)=\frac{x^3-3\pi x^2 +2 \pi^2 x}{12} \quad \text{ voor } \quad x \in \ivco{0}{2\pi} \] waarvan de Fourier-reeks gelijk is aan
\[ s_F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3} \]
Bereken de Fourier-reeks van #f#.
#s_f(x) =# # \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} #
De functie #F# voldoet aan de voorwaarden van de stelling
Afgeleiden van Fourier-reeksen. Met de wetenschap dat de Fourier-reeks ervan gelijk is aan \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3} \), leiden we hieruit met termsgewijse differentiatie af dat de Fourier-reeks van #f# gelijk is aan \[\begin{array}{rcl} s_{f}(x)&=&\displaystyle \frac{\dd}{\dd x}\left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n^3}\right) \\ &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\dd}{\dd x}\left(\frac{\sin(nx)}{n^3}\right) \\ &=&\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos(nx)}{n^2} \\ \end{array} \]
Differentiatie van Fourier-reeksen
