Periodieke functies zijn functies met een repetitief gedrag. Een dergelijke functie wordt vaak bepaald door een periode #p# en een functievoorschrift op een interval met lengte #p#.
Laat #f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}# een reële functie zijn. Deze functie wordt periodiek genoemd als er een positieve constante #p#, zodat, voor alle #x#,
\[ f(x+p)=f(x)\]
Een dergelijk getal #p# wordt een periode van #f# genoemd. In plaats van te zeggen dat #f# periodiek is met periode #p#, we zeggen ook dat #f# is #p#-periodiek is.
Als #a# een periode is van een periodieke functie #f#, dan is ook elk getal van de vorm #n\cdot a #, waarbij #n# een natuurlijk getal #n # is, een periode van #f#. Het minimum van de verzameling van alle perioden van #f#, als het bestaat, wordt de fundamentele periode genoemd. Kortheidshalve verwijzen we er vaak naar als de periode.
De functies #\sin# en #\cos# zijn beide #2\pi#-periodiek, terwijl #\tan# ook periode #\pi# heeft.
Een voorbeeld dat niet goniometrisch is wordt gegeven door de functie #f(t)=t -\left \lfloor t \right \rfloor#, die fundamentele periode #1# heeft.
Het is niet moeilijk om in te zien dat, als #f# een reële periodieke functie is met periode #p#, dan #d\cdot f(c\cdot x)#, waarbij #c# en #d# reële getallen zijn met #c\ne0#, periodiek met periode #\frac{p}{c}#.
Het is ook niet moeilijk om in te zien dat de verschoven functie #a+f(x-b)# van #x#, waarbij #a# en #b# reële getallen zijn, ook periode #p# heeft.
Zo heeft de functie #3\cos(8\pi x-7)# periode #\frac{2\pi}{8\pi}=\frac{1}{4}#.
Het bewijs dat indien #p# een periode van #f# is, ook #n\cdot p# een periode is voor elke #n \in \mathbb{N}#, volgt uit inductie naar #n# en toepassen van de definitie van periodiciteit:
\[f(x+np)=f(x+\underbrace{p + \cdots + p}_{n\ \text{times}})=f(x)\]
Een constante functie is periodiek. Elk positief reëel getal is er een periode van. Omdat het infimum van de verzameling van alle positieve reële getallen #0# is, wat niet is een positief getal, heeft de constante functie geen fundamentele periode.
Als #f# is een reële #p#-periodieke functie is, dan voldoet deze functie ook aan #f(x) = f(x-p)# voor alle reële getallen #x#. Dit is in te zien door #x# te vervangen door #x-p# in de definitie van periodiciteit. Daarom is, in de definitie van een periodieke functie, de eis dat een periodieke functie een positieve periode heeft, geen essentiële beperking.
Als #f# periodiek is met gehele perioden #a# en #b#, moet tevens de #\gcd# van #a# en #b# een periode zijn. Dit volgt uit het feit dat #\gcd(a,b)# kan worden geschreven als #m\cdot a+ n\cdot b# voor twee gehele getallen #m# en #n#.
We kunnen een #p#-periodieke functie #f# definiëren door middel van een functievoorschriftl op een interval van de vorm #\ivco{a}{a+p}# waarbij #a# een reëel getal is, en te eisen dat #f(x+ p) = f(x)# voor alle reële getallen #x# (dat wil zeggen: #f# is #p#-periodiek). We zeggen dan dat #f# wordt bepaald door periodieke uitbreiding.
De reeks periodieke functies met een vaste periode heeft meer structuur.
De verzameling periodieke functies met een vaste periode vormt een reële vectorruimte met de vermenigvuldiging met een constant getal als scalaire vermenigvuldiging en de puntsgewijze optelling van functies als optelling.
Het is algemeen bekend dat de verzameling #F# van reële functies, met de vermenigvuldiging met een constant getal als scalaire vermenigvuldiging en de puntsgewijze optelling van functies als optelling een vectorruimte is. Laat #p# een positief getal zijn. We gaan na dat de verzameling van reële periodieke functies met periode #p# een deelruimte is van #F#. De stelling volt dan uit de stelling Lineaire deelruimten zijn vectorruimten.
Om aan te tonen dat de #p#-periodieke functies een deelruimte van #F# vormen, volstaat het om vast te stellen dat de verzameling gesloten is onder het nemen lineaire combinaties en dat #0# erbij hoort. Dat laatste is hierboven al opgemerkt. Voor wat betreft het eerste, stellen we dat #f# en #g# beide #p#-periodieke functies zijn en #a# en #b# constanten. Dan voldoet #a\cdot f+b\cdot g# voor elke #x# aan \[ \begin{array}{rcl}(a\cdot f+b\cdot g)(x+p)&=& a\cdot f(x+p)+b\cdot g(x+p)\\ &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }a\cdot f+b\cdot g}\\&=&a\cdot f(x)+b\cdot g(x)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{periodicity of } f\text{ en } g}\\&=&(a\cdot f(x)+b\cdot g)(x)\\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{definitie van }a\cdot f+b\cdot g}\end{array}\] en dus is het een #p#-periodieke functie.
Laat #G# de vectorruimte zijn van reële continue #2\pi#-periodieke functies. Dan is de beperking van een functie uit #G# tot het gesloten interval #\ivcc{-\pi}{\pi}# een lineaire afbeelding #r: G\to H# van vectorruimten, waarbij #H# de vectorruimte is van continue functies #h# op #\ivcc{-\pi}{\pi}# met #h(-\pi) = h(\pi)#. Als #h# een functie in #H# is, dan is er een unieke manier om #h# om uit te breiden tot een functie #g# van #G#. Immers, #g# wordt uniek bepaald door het functievoorschrift #g(x) = h(x+2m\pi)#, waarbij #m=\left\lfloor \frac{\pi-x}{2\pi}\right\rfloor#. De keuze van #m# garandeert dat #x+2m\pi \in \ivoc{-\pi}{\pi}#. Dit betekent dat de afbeelding #r# een isomorfisme van vectorruimten is.
We kijken nogmaals naar de vectorruimte #G# van reële continue #2\pi#-periodieke functies, de vectorruimte #H# van alle continue functies #h# op #\ivcc{-\pi}{\pi}# met #h(-\pi) = h(\pi)#, en de beperking #r:G\to H#. De vectorruimte #H# is een inproductruimte met betrekking tot het functie-inproduct
\[\dotprod{h}{k}=\dfrac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}h(t)\cdot k(t)\,\dd t\]
Aangezien #r# een isomorfisme van vectorruimten is, kunnen we #\dotprod{f}{g} = \dotprod{r(f)}{r(g)}# voor #f# en #g# in #G# schrijven om een inproduct op #G# te krijgen met hezelfde afbeeldingsvoorschrift voor #f# en #g# als voor #h# als voor #k#. Door toepassing van dit inproduct zullen we de vectorruimte beschouwen #G# als inproductruimte. We zullen later laten zien dat, voor elk natuurlijk getal #n#, het stelsel functies
\[\basis{\frac{1}{\sqrt{2}},\cos(x),\sin(x),\cos(2x),\sin(2x),\ldots,\cos(nx),\sin(nx)}\]
is een orthonormaal stelsel van #G#. De Fourier-reeks van een functie #f#, die we later zullen bekijken, kan worden gezien als orthogonale projecties van #f# op de opspansels van deze orthonormale stelsels. In feite zullen we werken met een meer algemene klasse van functies dan #G#, namelijk stuksgewijze continue functies.
Vind de fundamentele periode van de functie #\cos(16 x)#.
#{{\pi}\over{8}}#
De fundamentele periode van # \cos(x)# is #2\pi#. De functie # \cos(16 x)# is deze functie geschaald met # 16#, zodat de
fundamentele periode van # \cos(16 x)# gelijk is aan #\frac{2\pi}{16} ={{\pi}\over{8}} #.
Periodieke functies
