Hoofdstuk 4: Kansverdelingen: Kansvariabelen
Verwachtingswaarde van een kansvariabele
- De verwachtingswaarde
- De variantie of standaardafwijking
Definitie
De verwachtingswaarde of het gemiddelde van een kansvariabele #X# is het centrum van de kansverdeling.
Als we #X# een zeer groot aantal keren observeren, dan is het erg waarschijnlijk dat het steekproefgemiddelde van die waarnemingen dicht in de buurt van de verwachte waarde ligt.
Notatie
\[\mathbb{E}[X]\]
Alternatieven: #\mu# of #\mu_X#
Verwachtingswaarde van een discrete kansvariabele
Laat #X# een discrete kansvariabele zijn met kansverdeling #f(x)# en bereik #R(X)#.
In dat geval wordt de verwachtingswaarde van #X# als volgt berekend:
\[\mathbb{E}[X]=\sum_{\text{alle }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\]
Waarbij #f(x)=\mathbb{P}(X=x)#.
Stel je een kansexperiment voor waarbij we één keer een dobbelsteen gooien. Laat #X# het aantal gegooide ogen zijn.
Bereken de verwachtingswaarde van #X#.
De kansverdeling van #X# is:
\begin{array}{c|cccccc}
x&1&2&3&4&5&6\\
\hline
\mathbb{P}(X = x)&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}&\cfrac{1}{6}\\
\end{array}
De verwachtingswaarde van #X# wordt dus als volgt berekend:
\[\begin{array}{rcl}
\mathbb{E}[X]&=&\sum\limits_{\text{all }x\text{ in }R(X)}x\cdot f(x)\\\\
&=&1\cdot \mathbb{P}(X=1)+2\cdot \mathbb{P}(X=2) +\ldots+ 6 \cdot \mathbb{P}(X=6)\\\\
&=&1\cdot \cfrac{1}{6}+2\cdot \cfrac{1}{6}+3\cdot \cfrac{1}{6}+4\cdot \cfrac{1}{6}+5\cdot \cfrac{1}{6}+6\cdot \cfrac{1}{6}\\\\
&=& 3.5\\
\end{array}\]
#\phantom{0}#
Verwachtingswaarde van een continue kansvariabele
De verwachtingswaarde van een continue kansvariabele wordt berekend met behulp van integraalrekening. Dit wordt niet in deze cursus behandeld.
