#\int \cos(8\cdot t)^4\cdot \sin(8\cdot t) \,\dd t=# #-{{\cos(8\cdot t)^5}\over{40}} + C#

---

We passen de substitutiemethode toe met #g(t)=-{{t^4}\over{8}}# en #h(t)=\cos(8\cdot t)#, want dan geldt #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos(8\cdot t)^4\cdot \sin(8\cdot t)#. Dit gaat als volgt:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(8\cdot t)^4\cdot \sin(8\cdot t) \,\dd t&=& \displaystyle \int -{{\cos(8\cdot t)^4}\over{8}} \cdot -8\cdot \sin(8\cdot t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 2: herschreven in de vorm }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ met } h'(t)=-8\cdot \sin(8\cdot t)} \\ &=& \displaystyle \int -{{\cos(8\cdot t)^4}\over{8}} \, \dd(\cos(8\cdot t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 3: herschreven met het gebruik van }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int -{{u^4}\over{8}} \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 4: gesubstitueerd }\cos(8\cdot t)=u} \\ &=& \displaystyle -{{u^5}\over{40}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 5: geprimitvieerd}} \\ &=& \displaystyle -{{\cos(8\cdot t)^5}\over{40}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{stap 6: gesubstitueerd }u=\cos(8\cdot t)}
\end{array}\]