#\int \cos(t)\cdot \sin(t)^3 \,\dd t=# #{{\sin(t)^4}\over{4}} + C#

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Nous appliquons l'intégration par substitution avec #g(t)=t^3# et #h(t)=\sin(t)#, car alors #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos(t)\cdot \sin(t)^3#.
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(t)\cdot \sin(t)^3 \,\dd t&=& \displaystyle \int \sin(t)^3 \cdot \cos(t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 2: écriture sous la forme }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \text{ avec } h'(t)=\cos(t)} \\ &=& \displaystyle \int \sin(t)^3 \, \dd(\sin(t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 3: réécriture en utilisant }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^3 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 4: substitution de }\sin(t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^4}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 5: primitive}} \\ &=& \displaystyle {{\sin(t)^4}\over{4}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{étape 6: substitution de }u=\sin(t)}
\end{array}\]