Los puntos rojos son los cuatro puntos de la pregunta. Estos se calculan de la siguiente manera:
La fórmula ya está escrita en la forma de #a \cdot x^2+b \cdot x +c# con #a =-{{1}\over{4}}#, #b=5# y #c=7#. Se observa como #a<0# la gráfica es una parábola que abre hacia abajo.

La intersección con el eje #y# es igual al valor de la constante en la fórmula cuadrática, que es igual a #7#. Eso significa que las coordenadas del punto de intersección con el eje #y# son #\rv{0,7}#.

El valor de #x# del vértice está dado por #x=-\dfrac{b}{2 \cdot a}# y es igual a:
\[\begin{array}{rclrl}
x&=& -\dfrac{5}{2 \cdot -{{1}\over{4}}} &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& 10 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{simplificado}}\\
\end{array}\]
El valor de #y# del vértice se calcula ingresando #x=10# en la fórmula. Lo que da:
\[\begin{array}{rclrl}
y&=& -{{1}\over{4}} \cdot 10^2 +5 \cdot 10 +7
&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula ingresada}}\\
&=& 32 &&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas del vértice son: #\rv{10,32}#.

Las intersecciones con el eje #x# son los puntos que corresponden a #y=0#.
\[\begin{array}{rcl}
-{{x^2}\over{4}}+5\cdot x+7 &=& 0 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{la ecuación que se debe calcular}}\\
x=\dfrac{-{5}-\sqrt{5^2-4 \cdot -{{1}\over{4}} \cdot 7}}{2 \cdot -{{1}\over{4}}} &\vee& x=\dfrac{-{5}+\sqrt{5^2-4 \cdot -{{1}\over{4}} \cdot 7}}{2 \cdot -{{1}\over{4}}} \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{fórmula cuadrática ingresada}}\\
x=10-2^{{{7}\over{2}}} &\vee& x=2^{{{7}\over{2}}}+10 \\&&\phantom{xxx}\color{blue}{\text{calculado}}\\
\end{array}\]
Las coordenadas de las intersecciones con el eje #x# son: #\rv{10-2^{{{7}\over{2}}},0}# y #\rv{2^{{{7}\over{2}}}+10,0}#. Para dibujar el punto en la gráfica, tenemos que escribir las coordenadas como números decimales (redondeado a 1 decimal). Eso da: #\rv{-1.3,0}# en #\rv{21.3,0}#.

Los cuatro puntos de la gráfica son: #\rv{0,7}#, #\rv{10,32}#, #\rv{10-2^{{{7}\over{2}}},0}# y #\rv{2^{{{7}\over{2}}}+10,0}#.