2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Inproduct en uitproduct
Inproduct en lijn in 2 dimensies
Volgens Loodrechte vectoren staan de vectoren #\rv{a,b}# en #\rv{b,-a}# loodrecht op elkaar. Dit feit kunnen we in termen van het inproduct formuleren.
Loodrecht staan in termen van inproduct
Twee vectoren #\vec{v}# en #\vec{w}# die ongelijk aan de nulvector zijn, staan dan en slechts dan loodrecht op elkaar als #\vec{v}\cdot \vec{w}= 0#.
Laat #a# en #b# getallen zijn, zodat #\vec{v} = \rv{a,b}#.
dan: Stel dat #\vec{w}# loodrecht staat op #\vec{v}#. Dan volgt uit de theorie van Normaalvectoren dat #\vec{w}# een scalair veelvoud van #\rv{b,-a}# is. Dus #\vec{w} = \rv{\lambda\cdot b, -\lambda\cdot a}# voor een zeker getal #\lambda#. Dit heeft tot gevolg dat \[\begin{array}{rcl}\vec{v}\cdot\vec{w} &=& a\cdot \left(\lambda\cdot b\right)+b\cdot \left(-\lambda\cdot a\right) \\ &=& \lambda\cdot a\cdot b-\lambda\cdot a\cdot b \\ &=&0\end{array}\]Dit bewijst dat als #\vec{v}# en #\vec{w}# onderling loodrecht zijn, #\vec{v}\cdot \vec{w}=0# geldt.
als: Stel dat #\vec{v}\cdot \vec{w}=0#. Als we #\vec{w}=\rv{w_1,w_2}# schrijven dan, kunnen we het inproduct #\vec{v}\cdot \vec{w}# uitschrijven: #a\cdot w_1+b\cdot w_2=0#. Omdat #\vec{v}# ongelijk is aan de nulvector, is tenminste één van #a# en #b# ongelijk aan nul. We nemen aan #a\ne0#. Het bewijs voor #b\ne0# verschilt nauwelijks van wat volgt. Deling door #a# geeft # w_1=\frac{-b}{a}w_2#. Bijgevolg is \[\vec{w}=\rv{w_1,w_2}=\rv{\frac{-b}{a}w_2,w_2} =\frac{-w_2}{a}\cdot\rv{b,-a}\tiny.\]Dit laat zien dat #\vec{w}# een scalair veelvoud is van de vector #\rv{b,-a}#, die loodrecht staat op #\vec{v}#. Maar dan staat #\vec{w}# zelf ook loodrecht op #\vec{v}#.
In Loodrechte vectoren hebben we al gezien dat de lineaire vergelijking #ax+by+c=0# een lijn voorstelt met normaalvector #\rv{a,b}#. Door gebruik te maken van bovenstaande formulering van loodrechtheid, kunnen we de vergelijking als een inproduct schrijven: #\rv{a,b}\cdot\rv{x,y}+c = 0#. Uitgaande van een parametervoorstelling krijgen we hierdoor het volgende resultaat.
Vergelijking van een lijn in termen van inproduct
De vergelijking van een lijn met steunpunt #\vec{v}# en richtingsvector #\vec{r}# kan geschreven worden als \[\vec{n}\cdot\rv{x,y}-\vec{n}\cdot\vec{v}=0\tiny,\] waarbij #\vec{n} = \rv{r_2,-r_1}# de normaalvector van de lijn is.
De gegeven lijn heeft parametervoorstelling #\vec{v}+\lambda\cdot \vec{r}#. Volgens Loodrechte vectoren heeft de lijn een vergelijking van de vorm #\vec{n}\cdot\rv{x,y}+c = 0#, waarbij #\vec{n}# een normaalvector van de lijn is; we kiezen voor deze normaalvector #\vec{n}=\rv{r_2,-r_1}#. We moeten #c# nog bepalen. Omdat #\vec{v}# op de lijn moet liggen, geldt #\vec{n}\cdot\vec{v}+c=0#, zodat #c=-\vec{n}\cdot\vec{v}#. De vergelijking heeft dus de vorm #\vec{n}\cdot\rv{x,y}-\vec{n}\cdot\vec{v}=0#.
Vanwege rechts-lineariteit uit de regels voor inproduct is de vergelijking van de lijn nog te herschrijven als \[\vec{n}\cdot\left(\rv{x,y}-\vec{v}\right)=0\tiny.\]De interpretatie van deze formule is goed te geven aan de hand van bovenstaande regel: de lijn bestaat uit alle punten #\rv{x,y}# waarvoor de richtingsvector #\vec{v}-\rv{x,y}# van de lijn door #\vec{v}# en #\rv{x,y}# loodrecht staat op de richtingsvector #\vec{n}#.
Dit maakt het mogelijk de loodlijn vanuit een punt op een lijn direct in parametervorm te beschrijven.
De lijn door het punt #\rv{d,e}# die loodrecht staat op de lijn met vergelijking #a\,x+b\,y+c=0#, heeft vergelijking \[b\,x-a\,y- \left(b\cdot d-a\cdot e\right)=0\tiny.\]
Om dit in te zien passen we de vorige stelling toe op de lijn met steunpunt #\rv{d,e}# en richtingsvector #\rv{a,b}#. Het resultaat is #\rv{b,-a}\cdot \rv{x,y}-\rv{b,-a}\cdot\rv{d,e}=0#. Uitschrijven van de inproducten geeft de formule van de stelling.
Volgens de theorie heeft de lijn door het punt #\rv{d,e}# die loodrecht staat op de lijn met vergelijking #ax+by+c=0#, de vergelijking \[bx-ay- \left(b\cdot d-a\cdot e\right)=0\tiny.\]Passen we dit toe met #a=3#, #b=7#, #d=-5# en #e=-2# (merk op dat #c# niet bekend hoeft te zijn), dan vinden we de vergelijking
\[7 x- 3 y - \left(7\cdot -5- 3\cdot -2\right)=0\tiny.\]Vereenvoudiging van deze vergelijking levert het antwoord #7\cdot x-3\cdot y+29=0#.
In de figuur hieronder zijn het punt en de twee lijnen getekend.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
