2-Dimensionale meetkunde: punten en lijnen: Inproduct en uitproduct
Uitproduct in 2 dimensies
Eerder hebben we gezien dat de cosinus uitgedrukt kan worden als het inproduct van twee vectoren van lengte #1#. Ook de sinus is goed uit te drukken met behulp van vectoren. Een belangrijke reden om ook de sinus mee te nemen is dat de cosinus wel een goede groottemaat is, maar niet de richting van een hoek weergeeft: als we twee vectoren #\vec{v}# en #\vec{w}# bekijken, dan willen we onderscheid maken tussen de hoek die je krijgt als je van #\vec{v}# naar #\vec{w}# draait en de hoek die je krijgt als je van #\vec{w}# naar #\vec{v}# draait. De cosinus van deze hoek hangt daar niet van af, maar de sinus wel.
Uitproduct
Het uitproduct van twee vectoren #\vec{v}=\rv{v_1,v_2}# en #\vec{w}=\rv{w_1,w_2}# is het getal \[\vec{v}\times \vec{w} =v_1\cdot w_2-v_2\cdot w_1\tiny.\]
Een andere manier om dit getal uit te drukken is #\rv{v_1,v_2}\cdot \rv{w_2,-w_1}#, het inproduct van #\vec{v}# met de vector die uit #\vec{w}# verkregen wordt door deze #90^\circ# met de klok mee te draaien.
Het uitproduct is makkelijk te berekenen dankzij de volgende regels, waarbij #\lambda# en #\mu# getallen zijn en #\vec{u}#, #\vec{v}# en #\vec{w}# vectoren. Met #R_{270}# geven we de draaiing over 270 graden tegen de klok in (ofwel 90 graden met de klok mee) aan.
\[\begin{array}{lrcl}\color{black}{\text{links-lineariteit:}}&\vec{u}\times \left(\lambda \cdot \vec{v}+\mu \cdot \vec{w}\right) &=&\lambda \cdot \left(\vec{u}\times \vec{v}\right)+\mu \cdot\left(\vec{u}\times \vec{w}\right)\\ \color{black}{\text{rechts-lineariteit:}}&\left(\lambda \cdot \vec{v}+\mu \cdot \vec{w}\right)\times \vec{u} &=& \lambda \cdot \left( \vec{v}\times \vec{u} \right)+\mu \cdot\left( \vec{w}\times \vec{u}\right)\\ \color{black}{\text{antisymmetrie:}}& \vec{u}\times \vec{v} &=&-\vec{v} \times \vec{u}\\ \color{black}{\text{alternatie:}}&\vec{v}\times \vec{v} &=&0\\ \color{black}{\text{uitproduct in termen}}&&&\\ \color{black}{\text{van inproduct:}} & \vec{u}\times \vec{v} &=&\vec{u}\cdot\left( R_{270}(\vec{v})\right) \end{array}\]
Formule voor de sinus in termen van het uitproduct
Als #\vec{v}# en #\vec{w}# twee vectoren zijn die een georiënteerde hoek ter grootte #\varphi# maken, dan geldt \[\sin(\varphi) = \frac{\vec{v}\times \vec{w} }{\parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel}\]
Het bewijs kan geleverd worden op dezelfde manier als voor de cosinusformule.
De formule is niet geldig als de lengte van #\vec{v}# of #\vec{w}# gelijk is aan #0#. Als je dat zou willen, dan zou je kunnen schrijven \[\sin(\varphi)\cdot {\parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel}= {\vec{v}\times \vec{w} }\tiny.\]
De oriëntatie wordt omgedraaid door #\vec{v}# en #\vec{w}# te verwisselen. Dit resulteert in de tegengestelde waarde van de sinus en is terug te vinden in de formule als de antisymmetrie van het uitproduct.
Een direct gevolg van de formules voor de cosinus en de sinus is:
Formule voor de tangens in termen van het inproduct en het uitproduct
Als #\vec{v}# en #\vec{w}# twee vectoren zijn die een georiënteerde hoek ter grootte #\varphi# maken, dan geldt \[\tan(\varphi)=\frac{\vec{v}\times \vec{w} }{\vec{v}\cdot \vec{w}}\tiny.\]
Dit volgt direct uit de definitie van de tangens, de sinusformule (zie boven) en de cosinusformule:\[\begin{array}{rclcl}\tan(\varphi) &=&\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{definitie tangens}}\\&=&\frac{\vec{v}\times \vec{w} }{\parallel\vec{v}\parallel\cdot \parallel\vec{w}\parallel}\cdot\frac{\parallel\vec{v}\parallel\cdot\parallel\vec{w}\parallel}{\vec{v}\cdot\vec{w}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{formules voor }\sin\text{ en }\cos}\\ &=&\frac{\vec{v}\times \vec{w} }{\vec{v}\cdot \vec{w}}&\phantom{x}&\color{blue}{\text{vereenvoudigd}}\end{array}\]
De sinus van de hoek tussen de twee vectoren is volgens de formule voor de sinus in termen van het uitproduct \[ \begin{array}{rclcl} \sin(\varphi) &=& \frac{ \vec{v} \times \vec{w}}{ { \parallel \vec{v} \parallel} \cdot {\parallel \vec{w} \parallel}}&\phantom{x}& \color{blue}{\text{formule voor de sinus}} \\ &=&\frac{ (22)\cdot (30)-(21)\cdot (5)}{\sqrt{(22)^2+(21)^2}\cdot\sqrt{(5)^2+(30)^2}}&& \color{blue}{\text{coördinaten ingevuld}} \\ & =& \frac{555}{\sqrt{925}\cdot\sqrt{ 925}} &&\color{blue}{\text{uitwerking}}\\ &=& {{3}\over{5}}\tiny. && \end{array} \]
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
