Équations exponentielles

Fonctions exponentielles et logarithmes: Fonctions logarithmiques

Équations exponentielles

Nous venons d'exercer la résolution d'équations de la forme #\blue{a}+\log_{\green{b}} \left(x \right)=\purple{c}#. Nous considérons maintenant des équations de la forme #\blue{a}^x=\green{b}#.

\[\blue{a}^x=\green{b}\]

donne

\[x=\log_{\blue{a}}\left(\green{b}\right)\]

Exemple

\[\begin{array}{rcl}\blue{2}^x&=&\green{3}\\x&=&\log_{\blue{2}}\left(\green{3}\right)\end{array}\]

Réponse exacte
L'expression #\log_{\blue{2}}\left(\green{3}\right) = 1.58496250072 \ldots # a une infinité de décimales, et en tant que telle ne peut pas être écrite comme une fraction de deux entiers. Dans ces cas, nous allons garder le logarithme dans notre réponse. Nous appelons cela la réponse exacte de l'équation.

Nous avons montré une équation très simple dans l'exemple ci-dessus. Cependant, les équations peuvent aussi être plus difficiles comme vous pouvez le voir dans les exemples suivants.

Résolvez l'équation
\[
5^{x+2}=125
\]

Donnez votre réponse sous la forme #x=\ldots# et n'utilisez pas les exposants dans votre réponse.

#x=1#

\(\begin{array}{rcl}
5^{x+2}&=&125\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{équation à résoudre}}\\
x+2&=&\log_{5}\left(125\right)\\
&&\phantom{xxx}\blue{a^x=b\text{ donne }x=\log_a\left(b\right)}\\
x+2&=&3\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{logarithme}}\\
x&=&1\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{termes constants dans le membre de droite}}\\
\end{array}\)

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