Vergelijkingen met machtsfuncties

Functies: Machtsfuncties

Vergelijkingen met machtsfuncties

In Kwadratische vergelijkingen hebben we gezien hoe een vergelijking #x^2=c# opgelost kan worden. Op dezelfde wijze zullen we nu met hogeremachtswortels een vergelijking #x^n=c# gaan oplossen.

De oplossingen van de vergelijking #x^\orange{n}=\blue{c}# zijn afhankelijk van de waarden van #\orange n# en #\blue c#.

#\blue{c} \gt 0#

#\blue{c}=0#

#\blue{c} \lt 0#

#\orange{n}# is even

Twee oplossingen:

#x=-\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}} \lor x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}#

Één oplossing:

#x=0#

Geen oplossingen

#\orange{n}# is oneven

Één oplossing:

#x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}#

Één oplossing:

#x=0#

Één oplossing:

#x=\sqrt[\orange{n}]{\blue{c}}#

Gebroken machtenWe brengen in herinnering dat we bij Gebroken machten de volgende regel hebben gezien:

\[\sqrt[\orange{n}]{x}=x^{\frac{1}{\orange{n}}}\]

We kunnen de oplossingen daarom ook schrijven met een gebroken macht. Dan zien de oplossingen er als volgt uit.

#\blue{c} \gt 0#

#\blue{c}=0#

#\blue{c} \lt 0#

#\orange{n}# is even

Twee oplossingen:

#x=-\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}} \lor x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}#

Één oplossing:

#x=0#

Geen oplossingen

#\orange{n}# is oneven

Één oplossing:

#x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}#

Één oplossing:

#x=0#

Één oplossing:

#x=\blue{c}^{\frac{1}{\orange{n}}}#

In de voorbeelden zien we dat we allerlei vergelijkingen door middel van herleiding tot de vorm #x^\orange{n}=\blue{c}# kunnen brengen en dan kunnen oplossen.

Los #x# op in #6\, x^{6}+6=8#.

Geef je antwoord in de vorm #x=x_1# of #x=x_1 \lor x=x_2# voor geschikte getallen #x_1# en #x_2#.

#x=\frac{1}{3}\sqrt[6]{243} \lor x=-\frac{1}{3}\sqrt[6]{243}#

#\begin{array}{rcl}6\, x^{6}+6&=& 8 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{de op te lossen vergelijking}} \\
6\, x^{6}&=&2 \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten min }6} \\
x^{6} &=& {{1}\over{3}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten gedeeld door }6} \\
x=\sqrt[6]{{{1}\over{3}}} &\lor& x=-\sqrt[6]{{{1}\over{3}}} \\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{beide kanten }6 \text{-de machtswortel genomen}}\\
x=\frac{1}{3}\sqrt[6]{243} &\lor& x=-\frac{1}{3}\sqrt[6]{243}\\
&&\phantom{xxx}\blue{\text{vereenvoudigd}} \end{array}#

Nieuw voorbeeld