#\int \cos(t)\cdot \sin(t)^7 \,\dd t=# #{{\sin(t)^8}\over{8}} + C#

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Aplicamos el método de sustitución con #g(t)=t^7# y #h(t)=\sin(t)#, porque en ese caso se aplica #g(h(t)) \cdot h'(t)=\cos(t)\cdot \sin(t)^7#. Esto se realiza de la siguiente manera:
\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \cos(t)\cdot \sin(t)^7 \,\dd t&=& \displaystyle \int \sin(t)^7 \cdot \cos(t) \, \dd t \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 2: volver a escribir en la forma }\int g(h(t)) \cdot h'(t) \, \dd t \\
\text{ con } h'(t)=\cos(t)} \\ &=& \displaystyle \int \left(\sin(t)^7 \right) \, \dd(\sin(t)) \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 3: volver a escribir usando }h'(t)=\dd (h(t))} \\ &=& \displaystyle \int u^7 \, \dd u \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 4: sustituir }\sin(t)=u} \\ &=& \displaystyle {{u^8}\over{8}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 5: encontrar la antiderivada}} \\ &=& \displaystyle {{\sin(t)^8}\over{8}} +C \\ &&\phantom{xxx}\blue{\text{paso 6: sustituir }u=\sin(t)}
\end{array}\]