Primitives de fonctions rationnelles particulières

Intégration: Techniques d'intégration

Primitives de fonctions rationnelles particulières

Dans les pages suivantes, nous allons examiner les méthodes pour trouver une primitive de certaines fonctions rationnelles. Tout d'abord, nous allons voir deux primitives particulières.

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x=\arctan(x)+\green C\]

Exemple

# \begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{3}{x^2+1} \; \dd x &=& 3 \displaystyle \int\frac{1}{x^2+1} \; \dd x \\ &=& 3 \arctan(x) + \green C\end {array} #

Nous substituons d'abord #x=\tan(t)#, ce qui donne:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)\]

Nous savons déjà que #\frac{\dd \tan(t)}{\dd t} = \tan^2(t)+1#. Ainsi, #\dd \tan(t) = \tan^2(t)+1 \; \dd t#. Donc:

\[\int \frac{1}{\tan^2(t)+1} \; \dd \tan(t)= \int \frac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t\]

Nous continuons à résoudre.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\tan^2(t)+1}{\tan^2(t)+1} \; \dd t&=&\displaystyle \int 1 \; \dd t \\ &=&t+\green C\end{array}\]

Nous substituons maintenant #\tan(t)=x#, autrement dit #t=\arctan(x)# de nouveau. Cela donne:

\[\int \frac{1}{x^2+1} \; \dd x = \arctan(x) +\green C\]

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x=\arcsin(x)+\green C\]

Exemple

# \begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{2}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x &=& 2 \displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x \\ &=& 2 \arcsin(x) + \green C\end {array} #

Nous substituons d'abord #x=\sin(t)#, ce qui donne:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)\]

Nous savons déjà que: #\frac{\dd \sin(t)}{\dd t} = \cos(t)#. Ainsi, #\dd \sin(t) = \cos(t) \; \dd t#. Donc:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd \sin(t)= \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t\]

Nous continuons à résoudre en utilisant #1-\sin^2(t)=\cos^2(t)#. Nous obtenons:

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1-\sin^2(t)}} \; \dd t&=& \displaystyle \int \frac{\cos(t)}{\sqrt{\cos^2(t)}} \; \dd t \\ &=&\displaystyle \int \frac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t \end{array}\]

Nous prenons maintenant #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}# pour lesquelles #|\cos(t)|=\cos(t)# s'applique.

\[\begin{array}{rcl}\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{|\cos(t)|} \; \dd t&=&\displaystyle \int \dfrac{\cos(t)}{\cos(t)} \; \dd t \\&=& \displaystyle \int 1 \; \dd t\\ &=&t+\green C\end{array}\]

Nous substituons maintenant #\sin(t)=x# avec #-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}#, autrement dit #t=\arcsin(x)# de nouveau. Cela donne:

\[\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \; \dd x = \arcsin(x) +\green C\]

Déterminez #\int {{1}\over{4\cdot x^2+1}} \,\dd x#.

Utilisez #C# pour désigner la constante d'intégration.

#\int {{1}\over{4\cdot x^2+1}} \,\dd x=# #{{\arctan(2\cdot x)}\over{2}} + C#

#\begin{array}{rcl}\displaystyle \int {{1}\over{4\cdot x^2+1}} \; \dd x &=& \displaystyle \int \frac{1}{2} \frac{1}{(2\cdot x)^2+1} \; \dd(2\cdot x) \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{réécriture }} \\ &=& \displaystyle \int \frac{1}{2} \cdot {{1}\over{u^2+1}} \; \dd u \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }2\cdot x=u} \\ &=& \frac{1}{2} \cdot \arctan(u) +C\\&&\phantom{xxx}\blue{\text{primitive}} \\ &=&\displaystyle {{\arctan(2\cdot x)}\over{2}} +C \\&&\phantom{xxx}\blue{\text{substitution de }u=2\cdot x} \end{array}#

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