Utwente POC: Eerste orde differentiaalvergelijkingen
Richtingsvelden
Dynamische systemen van de eerste orde en de eerste graad vormen een belangrijke klasse van GDV's. We zullen zien dat we ook zonder ingewikkelde berekeningen vaak al een idee kunnen krijgen over de vorm van de grafieken van oplossingen van een differentiaalvergelijking.
De oplossingen van een GDV van de vorm \[\frac{\dd y}{\dd t}=\varphi(t,y)\] kunnen als volgt meetkundig geïnterpreteerd worden.
Neem een punt \(\rv{a,b}\) en stel dat \(y(t)\) een oplossing is van de GDV waarvan de grafiek door \(\rv{a,b}\) gaat. De raaklijn aan de grafiek van \(y\) in het punt \(\rv{a,b}\) heeft dan de vergelijking \[ y=b+\varphi(a,b)\cdot(t-a)\]
Door de raaklijnen met kleine vectoren in het vlak te tekenen krijgen we een indruk van het gedrag van oplossingen van een eerste-orde ODE.
Richtingsveld en oplossingskromme
Als we in het punt \(\rv{a,b}\) een klein stukje (segment) van de raaklijn tekenen, dan zal dat lijnstukje goed lijken op de oplossing die door \(\rv{a,b}\) gaat. Zo'n segment heet een raaklijnelement of kortweg lijnelement in het punt \(\rv{a,b}\) van het \(t,y\)-vlak.
Vervolgens kunnen we voor veel verschillende punten \(\rv{a,b}\) in het \(t,y\)-vlak de lijnelementen tekenen. Een tekening met een aantal lijnelementen heet een lijnelementenveld of richtingsveld van de GDV. Meestal wordt hiervoor een regelmatig rooster van punten gebruikt, maar dat hoeft niet.
Door nu een vloeiende kromme te tekenen die in elk punt raakt aan de lijnelementen krijgen we een zogenaamde integraalkromme. Dit is dus de grafiek van een oplossing van de GDV. Zo'n kromme heet ook wel oplossingskromme.
De benadering van de oplossingskromme met lijnelementen is gebaseerd op het feit dat de grafiek van een differentieerbare functie, die dus in alle of bijna alle punten een glad verloop heeft, steeds meer op een rechte lijn lijkt als we sterker op een punt inzoomen. Die lijn is de raaklijn aan de grafiek in het betreffende punt.
Hieronder is de grafiek van een differentieerbare functie \(f(t)\) getekend, met daarbij ook de raaklijn in het punt \(\rv{a,f(a)}\). Vlak in de buurt van dit punt zijn de grafiek en de raaklijn nauwelijks van elkaar te onderscheiden.
Als illustratie hiervan is het rechthoekje rond het punt \(\rv{a,f(a)}\) in bovenstaande figuur hieronder nog eens vergroot weergegeven.
De vergelijking van de raaklijn in het punt \(\rv{a,f(a)}\) is gelijk aan \[y=f(a)+f'(a)\cdot(t-a)\] Voor \(t\) in de buurt van \(a\) geldt dus \[f(t)\approx f(a)+ f'(a)\cdot(t-a)\] Dit betekent ook dat als we de functiewaarde en afgeleiden voor een zekere \(t\) kennen, we ook de functiewaarden op kleine afstand \(\delta\) kunnen benaderen met de volgende formule: \[f(t+\delta)\approx f(t)+ f'(t)\cdot \delta\] Hoe dichter in de buurt van \(t\) (ofwel hoe kleiner de tijdstap \(\delta\)), des te beter de schatting van de functiewaarde van #f# in #t+\delta#.
Hieronder staat het richtingsveld getekend voor de differentiaalvergelijking \(\displaystyle\frac{\dd y}{\dd t}=r\cdot y\) met \(r=-0.7\) (dus \(\varphi(t,y)=-0.7y\)). Ook zijn twee integraalkrommen in de figuur opgenomen.
Het richtingsveld ontstaat door in elk roosterpunt in het \(t,y\)-vlak de richtingscoëfficiënt van de oplossing te tekenen als een klein, gecentreerd lijnstukje. De oplossing waarvoor \(y(2)=1\), heeft in \(t=2\) een afgeleide \(y'(2) =r \cdot y(2)=r=-0.7\) In het punt \(\rv{2,1}\) tekenen we dus een lijnstukje met helling \(-0.7\). Zo behandelen we ook alle andere roosterpunten. Merk op dat in dit voorbeeld het richtingsveld alleen van \(y\) en niet van \(t\) afhangt. Een consequentie is dat wanneer het plaatje horizontaal verschoven wordt, de tekening niet verandert. Dit is een eigenschap van alle tijdsinvariante (autonome) differentiaalvergelijkingen.
Een richtingsveld van een gegeven differentiaalvergelijking van de eerste orde en integraalkrommen, die berekend zijn met een numerieke methode, geven vaak een goede indruk hoe oplossingen van de GDV uit zien.
omptest.org als je een OMPT examen moet maken.
